Молекулярная физика

План-конспект семинарских занятий

Часть 1

Красноярск 2006

Введение

Молекулярная физика преподается студентам физических специальностей как курс современной физики, демонстрирующий возможности таких универсальных методов, как термодинамический и статистический. Эти методы находят широкое применение не только в различных областях физики, но также в химии, биологии, биофизике, медицине, экономике и сфере гуманитарных наук. Раскрытие сущности статистического подхода на материале собственно молекулярной физики и примерах-аналогах из других областей реальной жизни является одной из главных задач семинарских занятий первой половины семестра.

Молекулярная статистика требует определенной математической подготовки студентов. Если в области дифференциального и интегрального исчисления стартовые знания, умения и навыки обнадеживают, то в области теории вероятностей они полностью отсутствуют. Поэтому основные понятия, аксиомы и правила теории вероятностей включены в «План-конспект»а кроме того в тексте приведены ссылки на дополнительные источники информации.

Многие задачи молекулярной физики имеют формализованные решения. Способ решения – действие по процедуре. Знание процедуры и умение ее выполнять позволяют с вероятностью, близкой к единице, решить задачу. И наоборот, незнание делает задачу для студента неразрешимой. План-конспект по каждой из восьми тем раздела «Статистический подход к описанию молекулярных явлений» содержит установочную теоретическую часть (физические идеи, проблематика, список определений и процедур), методические указания и набор задач.

Целевое назначение данного методического пособия – обеспечить максимальную согласованность содержания лекционного курса и семинарских занятий.

Список литературы

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высш. шк., 2000.
Иродов И.Е. Задачи по общей физике. – М.: Бином, 1998.

3. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. – М.: Высш. шк., 1987.

4. Москвич О.И., Бомбенко О.Н. Общая физика. Молекулярная физика: Структурированный конспект лекций. Ч.1. – Красноярск, РИС КрасГУ, 2006.

5. Рейф Ф. Статистическая физика. Берклеевский курс физики. Т.5. – М.: Наука, 1986.

6. Сборник задач по общему курсу физики. Термодинамика и молекулярная физика. /Под ред. Д.В.Сивухина. – М.: Наука, 1976.

7. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.2. – М.: Наука, 1979.

Основные формулы элементарной комбинаторики

Число способов размещения m различных предметов по n местам:

(1.3)

Число способов размещения n различных предметов по n местам (число перестановок):

Г₂=n! (1.4)

Число способов размещения m неразличимых предметов по n местам:

. (1.5)

Число способов, которыми можно выбрать m различных предметов из n различных предметов, называется числом сочетаний и определяется выражением

(1.6)

Непрерывное распределение вероятности. Плотность вероятности. Условие нормировки вероятности

Если состояние физической системы характеризуется параметром j, случайно принимающим любые значения от j₀ до j₁, то определение вероятности (1.1) лишено смысла, поскольку множество значений параметра не является счетным. В этом случае вероятность определяется в дифференциальной форме:

(1.7)

Утверждается, что dP(j) пропорциональна величине достаточно малого интервала изменений переменной dj, а коэффициент пропорциональности f(j) не зависит от величины этого интервала и называется плотностью вероятности [1,5]:

диаметр молекулы CO₂. Атмосферное давление P₂ = 735 мм. рт. ст. Процесс считать изотермическим при температуре 15°C.

О т в е т ы

9.1. , .

9.2. .

9.3.

для плоскопараллельного слоя =

для сферического слоя ,

для цилиндрического слоя .

9.4. .

9.5..

9.6..

9.7..

Условие нормировки есть математическая запись утверждения, что если физическая система существует, то она находится в каком-либо из доступных ей состояний, характеризующихся параметром j. Это событие является достоверным и его вероятность равна единице.

З а д а ч и

1.1. В сосуде находятся 5 молекул газа. Мысленно разобьем сосуд на две равные части. Каждая из молекул может находиться в выделенной половине объема или не находиться в ней. Рассмотреть "макроскопическое" состояние, когда m молекул газа находятся в выделенной половине сосуда, и найти число микроскопических состояний Г_m, с помощью которых оно реализуется. Принять m равным 0, 1, 2, 3, 4, 5. Определить также общее число микросостояний Г₀ и частоту реализации всех рассмотренных «макросостояний». Термин «макроскопическое состояние» здесь использован условно, поскольку в системе всего 5 частиц, и она, строго говоря, не является статистической. По этой же причине вместо «вероятность» употребляется термин «частота».

1.2. В системе из n частиц со спином 1/2 в отсутствии внешнего магнитного поля спин каждой частицы может быть равновероятно ориентирован либо вверх, либо вниз.

а) Найти вероятность P_n(m) реализации состояния, когда m спинов направлены вверх.

б) Построить гистограмму зависимости P(m) для n =6. Как будет изменяться вид распределения P(m) при увеличении чисел n и m? Чему равно наивероятнейшее значение m?

1.3. Состояние системы характеризуется случайной величиной x с известным распределением вероятности:

а) б)

в) г)

, (9.5)

где Q – масса ежесекундно протекающего через сечение трубы газа, r – радиус трубы, r - плотность газа, h - вязкость, P – давление газа;

б) кнудсеновское течение (для ультраразреженного газа, >> 2r, через капилляры) описывается уравнением

, (9.6)

где N – поток молекул через сечение трубки S, n – концентрация разреженного газа.

З а д а ч и

9.1. На основе обобщённого уравнения переноса получить зависимость коэффициентов переноса (D,k,h) от микроскопических и макроскопических параметров системы.

9.2. Для измерения теплопроводности азота им наполнили пространство между двумя длинными коаксиальными цилиндрами, радиусы которых r₁ = 0,5 см и r₂ = 2 см. Внутренний цилиндр равномерно нагревается спиралью, по которой проходит ток силой i = 0,1 А. Сопротивление спирали, приходящееся на единицу длины цилиндра, равно R = 0,1 Ом. Внешний цилиндр поддерживается при температуре t₂ = 0°C. При установившемся процессе оказалось, что температура первого цилиндра t₁ = 93°C. Найти газокинетический диаметр молекулы азота. Давление газа таково, что конвекцией можно пренебречь.

9.3. Пользуясь полученной в задаче 9.1. зависимостью k(T), найти стационарное распределение температуры в плоско-параллельном слое газа толщины l, на границах которого поддерживаются постоянные температуры T₁ и T₂. Нагревание производят таким образом, что конвекции не возникает. Найти также стационарное распределение температуры для сферичес-

б)

С ростом числа частиц в системе n гистограмма переходит в график непрерывного распределения вероятности. Кривая представляет собой очень высокий и узкий пик, максимум которого находится при m_н = n /2.

1.3. а) б) А=2; в) г)