Подпись сообщения

1. Допустим,что нужно подписать сообщение .

2. Произведем генерацию ключей:

1. Пусть переменные, которые известны некоторому сообществу. Секретный ключ — случайное целое число такое, что .

2. Вычисляем открытый ключ : .

3. Итак,открытым ключом является тройка .

3. Теперь вычисляем хэш-функцию: .

4. Выберем случайное число такое, что выполняется условие . Пусть .

5. Вычисляем .

6. Находим число . Такое существует, так как НОД(k, p -1)=1. Получим что .

7. Итак, мы подписали сообщение: .

· Проверка подлинности полученного сообщения.

1. Вычисляем хэш-функцию: .

2. Проверяем сравнение .

3. Вычислим левую часть по модулю 23: .

4. Вычислим правую часть по модулю 23: .

5. Так как правая и левая части равны, то это означает что подпись верна.

Главным преимуществом схемы цифровой подписи Эль-Гамаля является возможность вырабатывать цифровые подписи для большого числа сообщений с использованием только одного секретного ключа. Чтобы злоумышленнику подделать подпись, ему нужно решить сложные математические задачи с нахождением логарифма в поле . Следует сделать несколько комментариев:

· Случайное число должно сразу после вычисления подписи уничтожаться,так как если злоумышленник знает случайное число и саму подпись, то он легко может найти секретный ключ по формуле: и полностью подделать подпись.

Число должно быть случайным и не должно дублироваться для различных подписей, полученных при одинаковом значении секретного ключа.

· Использование свертки объясняется тем,что это защищает подпись от перебора сообщений по известным злоумышленнику значениям подписи. Пример: если выбрать случайные числа ,удовлетворяющие условиям , НОД(j,p-1)=1 и предположить что

то легко удостовериться в том,что пара является верной цифровой подписью для сообщения .

· Цифровая подпись Эль-Гамаля стала примером построения других подписей, схожих по своим свойствам. В их основе лежит выполнение сравнения: , в котором тройка принимает значения одной из перестановок ±r, ±s и ±m при каком-то выборе знаков. Например, исходная схема Эль-Гамаля получается при , , .На таком принципе построения подписи сделаны стандарты цифровой подписи США и России. В американском стандарте DSS (Digital Signature Standard), используется значения , , , а в Российском стандарте: , , .

· Еще одним из преимуществ является возможность уменьшения длины подписи с помощью замены пары чисел на пару чисел ),где является каким-то простым делителем числа . При этом сравнение для проверки подписи по модулю нужно заменить на новое сравнение по модулю : . Так сделано в американском стандарте DSS (Digital Signature Standard).

Криптостойкость и особенности

В настоящее время криптосистемы с открытым ключом считаются наиболее перспективными. К ним относится и схема Эль-Гамаля, криптостойкость которой основана на вычислительной сложности проблемы дискретного логарифмирования, где по известным p, g и y требуется вычислить x, удовлетворяющий сравнению:

ГОСТ Р34.10-1994, принятый в 1994 году в Российской Федерации, регламентировавший процедуры формирования и проверки электронной цифровой подписи, был основан на схеме Эль-Гамаля. С 2001 года используется новый ГОСТ Р 34.10-2001, использующий арифметику эллиптических кривых, определенных над простыми полями Галуа. Существует большое количество алгоритмов, основанных на схеме Эль-Гамаля: это алгоритмы DSA, ECDSA, KCDSA, схема Шнорра.