2015-01-21
482
| 
| 
|
| рис. 14. Пересекающиеся прямые (лежат в одной плоскости). | рис. 15. Параллельные прямые (лежат в одной плоскости). | рис. 16. Скрещивающиеся прямые (не лежат в одной плоскости). |
Замечания:
1.
 рис. 17
| лучи ОА и О1А1 сонаправлены лучи А2В2 и О2В2 сонаправлены лучи О3А3 и О1А1 не являются сонаправленными |
 рис. 18
| ОА || О1А1 ОВ || О1 В1, то угол АОВ равен углу А1О1В1 (углы с сонаправленными сторонами) |
2. Угол между прямыми.
 рис. 19
| Если  - меньший из всех образованных углов, то угол (a; b) =
|
 рис. 20
| а и b - скрещивающиеся прямые. М - произвольная точка пространства, через которую проведём прямые а1||а и b1||b Если угол (а1; b1) =  , то угол (а;b) =
|
8. Плоскости могут совпадать, быть параллельными или пересекаться по прямой.
рис.3.
рис.4.
рис.5.
Теорема. Пусть
и 
– общие уравнения двух плоскостей. Тогда:
1) если 
, то плоскости совпадают;
2) если 
, то плоскости параллельны;
3) если 
или 
, то плоскости пересекаются и система уравнений
(6)
является уравнениями прямой пересечения данных плоскостей.
Доказательство. Первое и второе условия теоремы равносильны коллинеарности нормальных векторов данных плоскостей:
|
|
|
.
Если 
, то 
, 
, 
, 
и уравнение плоскости 
принимает вид:
Коэффициент пропорциональности k не может быть равен нулю, т.к. 
и при 
получаем, что 
, что противоречит определению нормального вектора. Следовательно, уравнение плоскости
совпадает с уравнением плоскости 
, а это означает, что плоскости совпадают.
Если , то это означает коллинеарность нормальных векторов обеих плоскостей, а значит плоскости либо параллельны, либо совпадают. Но в этом случае плоскости не могут совпадать и остается единственная возможность их параллельности.
Третье условие теоремы равносильно тому, что нормальные векторы плоскостей не коллинеарные, а потому они не совпадают и не параллельны, а следовательно, они пересекаются. Из геометрии известно, что линия пересечения двух плоскостей является прямой.
Точка М лежит на прямой пересечения двух плоскостей и тогда и только тогда, когда она лежит одновременно на обеих плоскостях и ее координаты удовлетворяют обоим уравнениям системы (6), т.е. являются решением этой системы. А это означает, что система (6) является уравнениями прямой пересечения плоскостей, ч.т.д.
Теорема доказана.
