Случаи взаимного расположения прямых в пространстве


рис. 14. Пересекающиеся прямые (лежат в одной плоскости).	рис. 15. Параллельные прямые (лежат в одной плоскости).	рис. 16. Скрещивающиеся прямые (не лежат в одной плоскости).

Замечания:

рис. 17	лучи ОА и О₁А₁ сонаправлены лучи А₂В₂ и О₂В₂ сонаправлены лучи О₃А₃ и О₁А₁ не являются сонаправленными
рис. 18	ОА \|\| О₁А₁ ОВ \|\| О₁ В₁, то угол АОВ равен углу А₁О₁В₁ (углы с сонаправленными сторонами)

2. Угол между прямыми.

рис. 19	Если - меньший из всех образованных углов, то угол (a; b) =
рис. 20	а и b - скрещивающиеся прямые. М - произвольная точка пространства, через которую проведём прямые а₁\|\|а и b₁\|\|b Если угол (а₁; b₁) = , то угол (а;b) =

8. Плоскости могут совпадать, быть параллельными или пересекаться по прямой.

рис.3.

рис.4.

рис.5.

Теорема. Пусть

– общие уравнения двух плоскостей. Тогда:

1) если , то плоскости совпадают;

2) если , то плоскости параллельны;

3) если или , то плоскости пересекаются и система уравнений

(6)

является уравнениями прямой пересечения данных плоскостей.

Доказательство. Первое и второе условия теоремы равносильны коллинеарности нормальных векторов данных плоскостей:

Если , то , , , и уравнение плоскости принимает вид:

Коэффициент пропорциональности k не может быть равен нулю, т.к. и при получаем, что , что противоречит определению нормального вектора. Следовательно, уравнение плоскости

совпадает с уравнением плоскости , а это означает, что плоскости совпадают.

Если , то это означает коллинеарность нормальных векторов обеих плоскостей, а значит плоскости либо параллельны, либо совпадают. Но в этом случае плоскости не могут совпадать и остается единственная возможность их параллельности.

Третье условие теоремы равносильно тому, что нормальные векторы плоскостей не коллинеарные, а потому они не совпадают и не параллельны, а следовательно, они пересекаются. Из геометрии известно, что линия пересечения двух плоскостей является прямой.

Точка М лежит на прямой пересечения двух плоскостей и тогда и только тогда, когда она лежит одновременно на обеих плоскостях и ее координаты удовлетворяют обоим уравнениям системы (6), т.е. являются решением этой системы. А это означает, что система (6) является уравнениями прямой пересечения плоскостей, ч.т.д.

Теорема доказана.