П.4. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

рис.6.

рис.7.

рис.8.

Теорема. Пусть плоскость задана общим уравнением

,

а прямая L задана каноническими уравнениями

или параметрическими уравнениями

, ,

в которых – координаты нормального вектора плоскости , – координаты произвольной фиксированной точки прямой L, –

координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:

1) если , то прямая L пересекает плоскость в точке, координаты которой можно найти из системы уравнений

; (7)

2) если и , то прямая лежит на плоскости;

3) если и , то прямая параллельна плоскости.

Доказательство. Условие говорит о том, что вектроры и не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М. Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальные уравнения системы, находим координаты искомой точки.

Если , то это означает, что . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости и координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если , то точка – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

Если , а , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.

Теорема доказана.

9. Плоскость, прямая, точка — основные понятия геометрии. Нам трудно дать им четкие определения, однако интуитивно мы понимаем, что это такое. Плоскость имеет только два измерения. У нее нет глубины. Прямая имеет лишь одно измерение, а у точки вообще нет размеров — ни длины, ни ширины, ни высоты.

10. Два вектора всегда являются компланарными так же, как три точки всегда лежат в одной плоскости. Но три вектора уже могут не быть компланарными, и тогда любой из них не может быть выражен через два других. Но, если мы выберем в пространстве три некомпланарных базисных вектора, то любой четвертый уже может быть выражен через них в виде линейной комбинации.

Рис. 13

Поступая аналогично тому, как мы это сделали для "плоского" случая, спроектируем вектор на базисные векторы , и при помощи проектирующих плоскостей (), () и () (рис. 13). Выразив каждую из проекций через соответствующий вектор базиса, получим:

.

То же самое в сокращенной записи:

.

11. Два геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы и линейно зависимы, следовательно, + = , причем хотя бы одно из чисел l ₁, l ₂ отлично от 0. Допустим для определенности l ₂¹0. Тогда

+ = , = ,

т. е. векторы и коллинеарны.

Достаточность. Пусть векторы и коллинеарны. Будем считать, что среди них нет нулевого вектора, ибо в противном случае в силу теоремы 3.3.2 эти векторы будут линейно зависимы.

Если ненулевые векторы и коллинеарны, то в соответствии с теоремой 3.1.2 вектор представим в виде = . Тогда +(– 1) = , что и означает линейную зависимость векторов и .

Следствие 3. 4.1. Любые два неколлинеарных вектора и являются линейно независимыми.

Теорема 3.4.2. Три вектора в линейном пространстве V ³ являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы , , линейно зависимы, следовательно, существуют такие вещественные числа a, b, d, что + + = , при этом хотя бы одно из них не равно нулю. Допустим для определенности, что g ¹ 0. Тогда

+ + =

или

= .

Векторы , коллинеарны соответственно векторам и , а их сумма, т. е. вектор , будет лежать в плоскости векторов и . Следовательно, векторы , , компланарны.

Достаточность. Пусть векторы , , компланарны. Будем считать, что среди них нет ни одной пары коллинеарных, ибо в противном случае в силу теоремы 3.3.3 три данных вектора будут линейно зависимыми.

Приведем векторы , , к общему началу О (рис. 3.4.1). Проведем через точку С прямую С , параллельную вектору и пересекающую прямую О в точке В. Далее параллельно вектору спроектируем точку С на прямую О . Векторы и , а также и коллинеарны. Тогда в силу теоремы 3.1.2 , = . Однако = + = + , откуда + + (–1) = , что и означает линейную зависимость векторов , , .

Следствие 3. 4.2. Если векторы , , некомпланарны, то они линейно независимы в V ³.

Следствие 3. 4.3. Каковы бы ни были два неколлинеарных вектора , на плоскости, всякий третий вектор , лежащий в этой же плоскости, может быть разложен по векторам и в виде = + .

Теорема 3.4.3. Любые четыре вектора линейного пространства V ³ линейно зависимы.

Доказательство. Пусть , , , — произвольные векторы в пространстве V ³. Будем считать, что среди этих векторов никакие три не являются компланарными, ибо в противном случае данные четыре вектора будут заведомо линейно зависимы.

Приведем все векторы к общему началу О (рис. 3.4.2). Проведем через конец вектора плоскости параллельные плоскостям, в которых лежат пары векторов и , и , и соответственно. Обозначим через A, B, C соответственно точки пересечения указанных плоскостей с прямыми О ,
О , О .

Векторы и , и , и коллинеарны. Поэтому по теореме 3.1.2 = , = , = . Однако = + + , откуда + + + (– 1) = , что и означает линейную зависимость векторов , , , .

Следствие 3.4.4. Каковы бы ни были три некомпланарных вектора линейного пространства V ³, любой четвертый вектор из этого пространства может быть разложен по этим векторам.