Задача Д8

Вертикальный вал АК (рис. Д8.0 - Д8.9), вращающийся с постоянной угловой скоростью ω=10 с^-1, закреплен подпятником в точке А и цилиндрическим подшипником в точке, указанной в табл. Д8 в столбце 2 (АВ = ВD = DЕ = ЕК = а). К валу жестко прикреплены тонкий однородный ломаный стержень массой ω=10 кг, состоящий из частей 1 и 2 (размеры частей стержня показаны на рисунках, где b = 0,1 м, а их массы m₁ и m₂ пропорциональны длинам), и невесомый стержень длиной l = 4b с точечной массой m₃ = 3 кг на конце; оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержней указаны в таблице в столбцах 3 и 4, а углы α, β, γ, φ даны в столбцах 5-8.

Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника. При подсчетах принять a = 0,6 м.

Указания. Задача Д8 - на применение к изучению движения системы принципа Даламбера. При решении задачи учесть, что когда

Номер условия	Подшипник в точке	Крепление в точке	α, град	β, град	γ, град	φ, град
Ломаного стержня	Невесомого стержня	рис. 0-4	рис. 5-9
	B	D	K
	K	B	D
	K	E	B
	D	K	B
	K	D	E
	E	B	K
	E	D	K
	K	B	E
	D	E	K
	E	K	D

силы инерции частиц тела (в данной задаче стержня) имеют равнодействующую , то численно = ma_c, где a_c — ускорение центра масс C тела, но линия действия силы в общем случае не проходит через точку С (см. пример Д8).

Пример Д8. Вертикальный вал длиной 3а(АВ = BD = DE = а), закрепленный подпятником А и подшипником D (рис. Д8,а), вращается с постоянной угловой скоростью ω. К валу жестко прикреплен в точке Е ломаный однородный стержень массой m и длиной 10b, состоящий из двух частей 1 и 2, а в точке В прикреплен невесомый стержень длиной l = 5b с точечной массой m₃ на конце; оба стержня лежат в одной плоскости.

Дано: ω=8 с^-1, m = m₁ + m₂= 10 кг, m₃ = 2 кг, α = 30°, β = 150°, φ = 60°, а = 0,3 м, b = 0,1 м.
Определить: реакции подпятника A и подшипника D, пренебрегая весом вала.

Решение. 1. Изображаем (с учетом заданных углов) вал и прикрепленные к нему в точках B и E стержни (рис. Д8, б). Массы и веса частей 1 и 2 ломаного стержня пропорциональны длинам этих частей и соответственно равны m₁ = 0,6m; m₂ = 0,4m;

P₁ = 0,6mg; Р₂ = 0,4mg; Р₃ = m₃g. (1)

2. Для определения искомых реакций рассмотрим движение заданной механической системы и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом координатные оси Axy так, чтобы стержни лежали в плоскости ху, и изобразим действующие на систему силы: активные силы - силы тяжести , , и реакции связей - составляющие реакции подпятника , и реакцию цилиндрического подшипника .

Согласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы инерции элементов однородного ломаного стержня и груза, считая его материальной точкой.

Так как вал вращается равномерно, то элементы стержня имеют только нормальные ускорения , направленные к оси вращения, а численно , где - расстояния элементов от оси вращения. Тогда силы инерции будут направлены от оси вращения, а численно = , где - масса элемента. Так как все пропорциональны , то эпюры этих параллельных сил инерции стержня образуют для части 1 треугольник, а для части 2 — прямоугольник (рис. Д8,б).

Каждую из полученных систем параллельных сил инерции заменим ее равнодействующей, равной главному вектору этих сил. Так как модуль главного вектора сил инерции любого тела имеет значение = ma_c, где m - масса тела, а_с - ускорение его центра масс, то для частей стержня соответственно получим

. (2)

Сила инерции точечной массы 3 должна быть направлена в сторону, противоположную ее ускорению и численно будет равна

. (3)

Ускорения центров масс частей 1 и 2 стержня и груза 3 равны:

(4)

где - расстояния центров масс частей стержня от оси вращения, а — соответствующее расстояние груза:

= Зb sinЗ0° = 0,15 м,

= 6b sin60° — 0,3 м, (5)

= l sinЗ0° = 5b sin60° = 0,43 м.

Подставив в (2) и (3) значения (4) и учтя (;>), получим числовые значения , и :

= 0,6m = 57,6 Н,

= 0,4m = 76,8 Н, (6)

= m₃ = 55,0 Н.

При этом линии действия равнодействующих Я" и Р$ пройдут через центры тяжестей соответствующих эпюр сил инерции. Так, линия действия проходит на расстоянии от вершины треугольника Е, где Н= 6b соsЗ0°.

3. Согласно принципу Даламбера, приложенные внешние силы (активные и реакции связей) и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для этой плоской системы сил три уравнения равновесия. Получим

(7)

где Н₁, Н₂, Н₃ - плечи сил , , относительно точки A, равные (при подсчетах учтено, что H = 6b соs30° = 0,52 м)

H₁ = 3а — (2/3)H = 0,55 м, H₂ = За —(H + 2b) = 0,18 м, H₃ = а + lcоs60° = 0,55 м. (8)

Подставив в уравнения (7) соответствующие величины из равенств (1), (5), (6), (8) и решив эту систему уравнений (7), найдем искомые реакции.

Ответ: Х_А = -33,7 Н; У_А = 117,7 Н; R_D= -45,7 Н.