Контрольные задания. Задание 5.1.На основании статистических данных, приведенных в таблице5.10, исследуется зависимость урожайности зерновых культур от следующих факторов

Задание 5.1. На основании статистических данных, приведенных в таблице5.10, исследуется зависимость урожайности зерновых культур от следующих факторов производства:

– число тракторов на 100 га;

– число зерноуборочных комбайнов на 100 га;

– число орудий поверхностной обработки почвы на 100 га;

– количество удобрений, расходуемых на гектар (т/га);

– количество химических средств защиты растений (т/га).

Необходимо:

1) построить линейную регрессионную модель с полным набором факторов;

2) с помощью критерия проверить наличие в построенной модели мультиколлинеарности;

3) в случае присутствия мультиколлинеарности в модели с полным набором факторов методом последовательного включения факторов построить множественную линейную модель, не имеющую мультиколлинеарности между факторами;

4) оценить и сравнить качество построенных моделей.

Таблица 5.10. Статистические данные задания 5.1

29,70	1,59	0,26	2,05	0,32	0,14
28,40	0,34	0,28	0,46	0,59	0,66
29,00	2,53	0,31	2,46	0,30	0,31
29,90	4,63	0,40	6,44	0,43	0,59
29,60	2,16	0,26	2,16	0,39	0,16
28,60	2,16	0,30	2,69	0,32	0,17
32,50	0,68	0,29	0,73	0,42	0,23
27,60	0,35	0,26	0,42	0,21	0,08
28,90	0,52	0,24	0,49	0,20	0,08
33,50	3,42	0,31	3,02	1,37	0,73
29,70	1,78	0,30	3,19	0,73	0,17
30,70	2,40	0,32	3,30	0,25	0,14
22,20	9,36	0,40	11,51	0,39	0,38
29,70	1,72	0,28	2,26	0,82	0,17
27,00	0,59	0,29	0,60	0,13	0,35
27,20	0,28	0,26	0,30	0,09	0,15
28,20	1,64	0,29	1,44	0,20	0,08
28,40	2,09	0,22	2,05	0,43	0,2
33,10	2,08	0,25	2,03	0,73	0,2
28,70	1,36	0,26	0,17	0,99	0,42

Задание 5.2. Торговое предприятие имеет сеть, состоящую из 12 магазинов. Статистические данные о работе магазинов представлены в таблице 5.11.

Необходимо:

1) построить линейную регрессионную модель зависимости товарооборота магазина от среднего числа посетителей в день;

2) графическим методом оценить выполнение условий Гаусса-Маркова;

3) проверить выполнение модельных предположений с помощью статистических методов;

4) сравнить результаты.

Таблица 5.11. Статистические данные задания 5.2

Номер магазина	Товарооборот, (млн руб.)	Среднее число посетителей в день, (тыс. чел.)
	197,6	8,2
	380,9	10,3
	409,5	9,4
	410,8	11,2
	562,7	8,6
	685,1	7,7
	750,2	12,4
	890,7	10,9
	911,3	9,6
	912,6	13,6
	998,4	12,4
	1083,3	13,9

Задание 5.3. В результате применения инструмента «Регрессия» получены график и гистограмма остатков (рисунки 5.12 и 5.13). Необходимо графическим способом оценить выполнение условий теоремы Гаусса-Маркова для соответствующей парной линейной модели регрессии.

Рис. 5.12. График остатков задания 5.3

Рис. 5.13. Гистограмма остатков задания 5.3

Задание 5.4. По статистическим данным таблицы 5.14 для десяти сельскохозяйственных предприятий исследуется зависимость урожайности зерновых культур (переменная , ц/га) от качества земли (переменная , баллы).

1.Построить парную линейную модель зависимости от .

2. Проверить наличие в модели гетероскедастичности с помощью графического анализа и методом Голдфелда–Квандта.

3. При обнаружении гетероскедастичности построить взвешенную модель регрессии.

Таблица 5.14. Статистические данные задания 5.4

	23,0	23,3	24,0	24,5	24,2	25,0	27,1	28,8	29,3	30,2

Задание 5.5. По статистическим данным задания 5.4 построить парную линейную модель вида . Для построенной модели проверить выполнение первого условия теоремы Гаусса-Маркова:

1) с помощью графического анализа остатков регрессии;

2) с помощью оценки величины среднего выборочного остатков регрессии;

3) с помощью проверки гипотезы о равенстве нулю математического ожидания случайного члена.

Задание 5.6. По статистическим данным таблицы 5.15 для двенадцати предприятий отрасли исследуется (в расчете на одного работающего) зависимость производительности труда (переменная , млн руб.) от энерговооруженности труда (переменная , кВт).

1.Построить парную линейную модель зависимости от .

2. Проверить наличие в модели гетероскедастичности с помощью графического анализа и методом Голдфелда–Квандта.

3. При обнаружении гетероскедастичности построить взвешенную модель регрессии.

Таблица 5.15. Статистические данные задания 5.6

	2,7	2,3	2,9	3,4	3,3	3,6	4,1	4,7	5,8	5,7	6,6	9,6
	6,9	7,0	7,4	7,6	8,5	8,9	9,2	9,9	10,9	10,8	12,5	15,8

Задание 5.7. По статистическим данным задания 5.6 построить парную линейную модель вида . Для построенной модели проверить выполнение первого условия теоремы Гаусса-Маркова:

1) с помощью графического анализа остатков регрессии;

2) с помощью оценки величины среднего выборочного остатков регрессии;

3) с помощью проверки гипотезы о равенстве нулю математического ожидания случайного члена.

Задание 5.8. На основании статистических данных, приведенных в таблице 5.16, изучается зависимость стоимости квартиры (тыс. долларов) от ее общей площади (м²).

Таблица 5.16. Статистические данные задания 5.8

	15,1	19,2	25,3	31,4	33,6	35,6	34,8	37,4	38,8
	41,8	45,1	44,8	48,9	51,7	53,6	51,9	64,7	68,1

Необходимо:

1) Построить парную линейную модель зависимости от .

2) Построить график и гистограмму остатков.

3) Сделать выводы о характере остатков модели, проиллюстрировать их графиками.

4) Вычислив коэффициент асимметрии и эксцесса, проверить условие о нормальности распределения остатков.

5) Методом Голдфелда–Квандта проверить наличие в модели гетероскедастичности.

Задание 5.9. На основании статистических данных, приведенных в таблице 5.17, изучается зависимость урожайности зерновых культур (ц/га) от количества внесенных удобрений на один гектар (тонны).

Таблица 5.17. Статистические данные задания 5.9

	3,6	4,1	5,2	5,9	6,7	7,7	10,2	11,9	13,0	14,1
	26,1	24,8	25,1	26,3	27,6	28,3	29,7	31,3	35,7	34,5

Необходимо:

1) Построить парную линейную модель зависимости от .

2) Построить график остатков.

3) На основе графического анализа сделать выводы о характере остатков модели.

4) Вычислив коэффициент асимметрии и эксцесса, проверить условие о нормальности распределения остатков.

5) Методом Голдфелда–Квандта проверить наличие в модели гетероскедастичности.

6) Проверить тест Дарбина-Уотсона на наличие в модели автокорреляции.

Задание 5.10. На основании статистических данных, приведенных в таблице 5.18, изучается зависимость объема спроса на товар (кг) от его цены (тыс. руб.).

Таблица 5.18. Статистические данные задания 5.10

	9,8	8,3	7,8	6,9	6,5	5,9	5,7	5,3	5,5	4,9

Необходимо:

1) Построить парную линейную модель зависимости от .

2) Построить график остатков.

3) На основе графического анализа сделать выводы о характере остатков модели.

4) Вычислив коэффициент асимметрии и эксцесса, проверить условие о нормальности распределения остатков.

5) Методом Голдфелда–Квандта проверить наличие в модели гетероскедастичности.

6) Проверить тест Дарбина-Уотсона на наличие в модели автокорреляции.

Контрольные вопросы

1. Назовите основные допущения в нормальной классической линейной модели регрессии.

2. С какой целью формулируются и что обеспечивают модельные предположения?

3. В чем заключается несмещенность, эффективность и состоятельность оценок?

4. В связи с чем возникает необходимость рассмотрения методов обнаружения и устранения нарушений предпосылок МНК?

5. Как решается проблема выполнения первого условия теоремы Гаусса-Маркова?

6. Какими способами может быть протестировано условие равенства нулю математического ожидания случайной переменной?

7. В чем заключается проблема гетероскедастичности?

8. Назовите основные причины гетероскедастичности.

9. Каковы последствия гетероскедастичности?

10. Как проявляется гетероскедастичность при использовании пространственных выборок и при использовании данных временных рядов?

11. Как можно с помощью графического анализа проверить наличие гомо- или гетероскедастичности?

12. Опишите алгоритм теста Голдфелда-Квандта.

13. Опишите схему теста ранговой корреляции Спирмена.

14. Опишите методы устранения гетероскедастичности.

15. В чем суть взвешенного метода наименьших квадратов?

16. Что такое автокорреляция?

17. Как проявляется автокорреляция при использовании пространственных выборок и при использовании данных временных рядов?

18. Как определяется положительная и отрицательная автокорреляции?

19. Как отражается положительная и отрицательная автокорреляции на изображении точек корреляционного поля?

20. Назовите основные причины автокорреляции.

21. Каковы последствия автокорреляции?

22. Перечислите основные методы диагностики автокорреляции.

23. Опишите схему использования статистики Дарбина-Уотсона.

24. Опишите методы устранения автокорреляции.

25. В чем суть обобщенного метода наименьших квадратов?

26. Что такое мультиколлинеарность?

27. Назовите причины мультиколлинеарности.

28. К каким последствиям приводит мультиколлинеарность факторов, включенных в модель?

29. Как определяется матрица парных коэффициентов корреляции?

30. Опишите метод выявления явно коллинеарных факторов, основанный на анализе матрицы парных коэффициентов корреляции.

31. Опишите приемы диагностики мультиколлинеарности.

32. Перечислите основные методы устранения мультиколлинеарности.

33. Опишите рекомендуемую последовательность проверки модельных предположений.