Лекция № 1. Введение

Используемые уравнения. Принята концепция изотропной турбулентной вязкости. Основанная на приближении Буссинеска. Напряжения Рейнольдса считаются пропорциональными осреднённым по времени скоростям деформаций. Введением коэффициента турбулентной вязкости , данная концепция выражается как

(9)

Коэффициент эффективной вязкости вычисляется как сумма молекулярного и турбулентного коэффициентов

В данной работе для определения коэффициента турбулентной вязкости используется двухпараметрическая высокорейнольдсовая модель турбулентности со следующими уравнениями и замыкающими соотношениями

(10)

/ (11)

Где - квадрат осреднённого тензора напряжений. Константами модели являются

(12)

Как показали Като и Лаундер, модель в стандартной формулировке переоценивает величину генерации кинетической энергии турбулентности в областях с малыми скоростями сдвиговых деформаций. Для устранения этого эффекта Като и Лаундер переопределили генерационный член через произведение вращательного и деформационного сомножителей

, (13)

Где - модуль осреднённой завихрённости.

В конечном счёте, к разработке очень большого числа моделей подобного рода.

Фундаментальную роль в теории турбулентности, основанной на использовании уравнений для вторых моментов, сыграли работы А.Н. Колмогорова (1942) и Прандтля – Вигхарда (1945) , в которых была предложена гипотеза, связывающая коэффициент турбулентной вязкости и кинетическую энергию турбулентности

(16)

Здесь интегральный масштаб турбулентности, эмпирическая постоянная.

В предложении о градиентном механизме турбулентной диффузии, принятом в работе А.Н. Колмогорова, уравнение для приобретает вид

(17)

Здесь коэффициент динамической вязкости; эмпирическая постоянная.

Скорость диссипации энергии турбулентности в соответствии с гипотезой Колмогорова – Прандтля выражается при больших числах Рейнольдса через кинетическую энергию и интегральный масштаб соотношением

, (18) где эмпирическая постоянная.

Принятие гипотезы (18) означает, что процессом, определяющим скорость диссипации, является не сам процесс собственно диссипации, т.е. процесс превращения кинетической энергии «мелкомасштабных вихрей» в тепло, а процесс переноса энергии последовательно от «больших вихрей» к «меньшим». Этот каскадный процесс, как предполагается, зависит лишь от величин и и не зависит от вязкости.

Если исключить из формулы Колмогорова – Прандтля (16) интегральный масштаб с помощью равенства (18), то получится соотношение, связывающее коэффициент турбулентной вязкости , кинетическую энергию турбулентности и скорость диссипации энергии .

(19)

Для использования уравнений (17) – (18) необходимо задание интегрального масштаба турбулентности. В наиболее простых моделях для определения этого масштаба использовалось допущение о его адекватности пути смешения, определяемого по формулам типа формулы Прандтля (15). В более сложных моделях вместо «алгебраических» выражений для масштаба турбулентности использовались дифференциальные уравнения. Однако наибольшее распространение получили двухпараметрические модели, в которых вместо уравнения для масштаба турбулентности используется уравнение для скорости диссипации энергии турбулентности . Семейство этих моделей получило наименование моделей турбулентности.

Использование в качестве второго параметра скорости диссипации вместо масштаба турбулентности , с которым эта величина связана соотношением (18), даёт ряд практических преимуществ.

Уравнение для можно строго получить из уравнений Навье - Стокса путём соответствующей процедуры, включающей осреднение по Рейнольдсу. Это уравнение оказывается незамкнутым. Для замыкания необходимы модельные представления отдельных его членов. Ограничимся приведением следующей формы этого уравнения

(20)