Схему обработки измерений проиллюстрируем на конкретном примере. Предположим, что нам нужно определить ускорение тела, движущегося равноускоренно, без начальной скорости. Выразим ускорение тела из формулы пути для равноускоренного движения:
; . (18)
Здесь S и t - прямо измеряемые величины, а - косвенно измеряемая величина. Обработку результатов проводим в следующей последовательности:
3.1 Проводим n опытов и получаем n значений S и t. Находим средние значения и
; (19)
и подставив их в (18), находим среднее значение ускорения
(20)
3.2 Определяем полную ошибку прямо измеренных величин. Для этого:
3.2.1 Явно сомнительные результаты отбросить как промахи или повторить измерения.
3.2.2 Определить приборные ошибки и как половину цены наименьшего деления шкалы или полного наименьшего разряда цифрового прибора.
3.2.3 Рассчитать среднюю случайную ошибку и как среднее значения разностей и
; (21)
Расчет значений и проводить до того знака после запятой, который фигурирует в соответствующих приборных ошибках и .
|
|
3.2.4 Сравнить средние случайные ошибки измерений пути и времени с их
приборными ошибками. В качестве полных ошибок ∆S и ∆t взять большие значения и ; и
3.3 Расчет погрешностей косвенно измеренной величины производится следующим образом:
3.3.1 Продифференцировать расчетную формулу (20) поочередно по
переменным S и t:
(22)
3.3.2 Так как da≈∆a, ds≈∆s и dt≈∆t, равенство (22) можно записать:
(23)
3.3.3 Слагаемые со знаком минус по модулю, т.к. ошибки прямо измеренных величин складываются. Вместо ∆S и ∆t подставить их полные ошибки ∆s и ∆t.
Тогда формула для расчета абсолютной ошибки прямо измеренной величины а записывается:
, (24)
3.3.4 Рассчитать относительную ошибку измерения ускорения по формуле
(25)
Примечание. В данном случае связь между a и S и t выражается в виде частного. Поэтому в этом случае проще проводить вычисления вторым способом с предварительным логарифмированием по следующей схеме:
3.4 Прологарифмировать расчетную формулу
lna=ln2+lnS-2lnt (26)
3.5. Продифференцировать (26) по переменным S и t:
(27)
3.6 Поменять знак у второго слагаемого и записать (27) в виде
(28)
3.7 Рассчитать относительную ошибку по формуле (28), а абсолютную, как
(29)
Отметим, что оба способа приводят к одинаковому результату. Например, получим формулу для расчета относительной ошибки , используя формулу (23):
(30)
Формула (30) аналогичная формуле (27), полученной вторым способом. Однако расчет вторым способом в данном случае проще.