2015-10-22
2409
xn = x1,x2,...,xn
n1 < n2 < … < nk <...
xnk = xn1,xn2,...,xnk
xnk → a (k → ∞)
Последовательность сходится к а, если вне некоторой окрестности находится лишь конечное количество элементов.
n = αβγ..ω ==> xn = 0,αβγ..ω
n = 15, 150, 1500
x15 = 0,15
x150 = 0,15
x1500 = 0,15
xnk ϵ [0,1; 1] – частичные пределы заполняют всё от 0,1 до 1.
Теорема Вейерштрасса:
Из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
A ≤ xn ≤ b ∀ n
[a,b] = p0
p1 < p0
p0 > p1 > p2 > …
Пусть xn1 ϵ p1
xn2 ϵ p2, n2 > n1
xn3 ϵ p3, n3 > n2
…
xnk ϵ pk, nk > nk–1
a ≤ xnk ≤ bk
ak → c
bk → c
==> xnk → c
Всякая ограниченная последовательность имеет предел.
Если xn – неограниченая, то существует подпоследовательность xnk, имеющая бесконечный предел.
∀ A ∃ KA: k > KA ==> yk > A
(∀ KA > A xnk k > KA xnk > k > KA > A)
Доказательство:
Пусть xn не имеет верхней границы. Рассмотрим подпоследовательность xn1. Среди элементов xn1+1, xn1+2 найдётся хотя бы один элемент, больший 1:
1. xn1 > 1.
Такая же ситуация для числа 2 и подпоследовательности xn2.
|
|
|
2. xn2 > 2, n2 > n1.
Тогда на k-ом шаге будет
k. xnk > k, nk > nk-1.
Этот набор чисел образует последовательность, так как каждый следующий элемент больше предыдущего. Эта последователность неограничена, потому стремится к +бесконечности.
xn → +∞.
Если последовательность неограничена ни сверху, ни снизу, то существует подпоследовательность, имеющая бесконечный предел.
Если последовательность ограничена, то существует подпоследовательность, имеющая конечный предел.
В любой последовательности xn существует подпоследовательность, имеющая предел. Он называется частичным пределом последовательсти xn.
xn = (-1)n
xnk = x2k = (-1)2k = 1
xnk = x2k+1= (-1)2k+1 = -1.
Такая последовательность имеет частичный предел в каждой точке:
Q = {xn}, a ϵ R.
a – 1 < xn1 < a + 1
a – ½ < xn2 < a + ½
a – 1/3 < xn3 < a + 1/3
…
a – 1/k < xnk < a + 1/k
a = infm(supm≥n xn) = limm→∞ am
I. Неравенство xn ≥ a + ℰ выполняется для конечного множества номеров n.
a + ℰ > a, a+ℰ – не нижняя граница для {am}.
∃ m0: amo < a + ℰ amo = supn>=mo xn ≥ xn (n>=mo) ==> ∀ n ≥ m0 xn ≤ amo < a + ℰ
II. Неравенство xn > a – ℰ выполняется для бесконечного множества номеров n.
Пусть n = 1,2,...,N (конечно). Тогда
∀ n > N xn ≤ a – ℰ
m > N am = supn≥m xn ≤ a – ℰ – противоречие, значит, n бесконечно.
Предельная точка
f D a – предельная точка;
A = limx→a f(x)
I. Если {xn} c D, xn ≠ a, xn →n→∞ a, то lim(xn) = A, 0 < |x-a| < δ.
II. ∀ ℰ > 0 ∃ δ > 0: x ϵ D, x ≠ a, |x-a| < δ ==> |f(x) – A| < ℰ.
D f(x), g(x);
∀ xϵD f(x) ≤ g(x) ∃ limx→af(x) = A, limx→ag(x) = B ==> A ≤ B.
{xn}сD, xn ≠ a, xn → a
|
|
|
f(xn) →n→∞ A
g(xn) →n→∞ B
f(x) < g(x)
limx→af(x) ≤ limx→ag(x)
∀ ℰ > 0 ∃ δ > 0: x ϵ D, x ≠ a, |x-a| < δ ==> |f(x) – A| < ℰ.
δ' = min(δ,δ0)
x ϵ D, |x-a| < δ' ==> |x-a| < δ
|x-a| < δ0
h(x) = f(x) ==> |h(x) – A| < ℰ
∀ ℰ > 0 ∃ δ' > 0: x ϵ D, x ≠ a, |x-a| < δ' ==> |h(x) – A| < ℰ.
Доказательство:
| |g(x)| - |B| | ≤ |g(x) – B| < |B|/2
|g(x)| ≥ |B| - |B|/2 = |B|/2 > 0
g(x) ≠ 0
x ϵ D^(a-δ, a+δ)
x ≠ a
f(x)/g(x) определено на множестве D^(a-δ,a+δ)\{a} = D'
{xn} с D', xn ≠ a, xn –n→∞→ a
limx→a f(xn)/g(xn) = A/B
Критерий Коши для функций:
∀ ℰ > 0 ∃ δ > 0: x,y ϵ D, 0 < |x-a| < δ, 0 < |y-a| < δ ==> |f(x) – f(y)| < ℰ
{xn} c D, xn ≠ a, xn → a, {yn} c D, yn ≠ a, yn → a,
∃ limn→∞ f(xn) ∃ limn→∞ f(yn)
limn→∞ f(xn) = limn→∞ f(yn)
Доказательство:
zn: x1,y1,x2,y1,x3,y3,....
zn c D, zn ≠ a, zn → a ==> ∃ limn→∞ f(zn) = A
f(z2n-1) = f(xn) ==> limn→∞ f(xn) = limn→∞ f(z2n-1) = A
f(z2n) = f(yn) ==> limn→∞ f(yn) = limn→∞ f(z2n) = A
Монотонная функция
f(x) c D монотонно возрастает (не убывает), если
∀ x1,x2 ϵ D x1 <(≤) x2 ==> f(x1) <(≤) f(x2)
Da+ = {x ϵ D: x > a} Da– = {x ϵ D: x < a}
правая предельная точка левая предельная точка
всякая предельная точка является либо правой предельной точкой,
либо левой предельной точкой, либо сразу и той, и другой.
f/Da+ = fa+(x) f/Da– = fa–(x)
limx→a+0 f(x) = limx→a fa+(x) limx→a-0 f(x) = limx→a fa– (x)
f(x) D, f(x) D,
∀ x f(x) ≤ M < +∞ ∀ x f(x) ≥ M > –∞
a – левая предельная точка a – правая предельная точка
∃ limx→a-0 f(x) = supDa– f(x) ∃ limx→a+0 f(x) = infDa+ f(x)
A – ℰ < f(xℰ) ≤ f(x) A ==> |f(x) – A| < ℰ
|fa–(x) – A| < ℰ
{xn} c D, xn ≠ a, xn → a
{xn} c D, xn → +∞
limn→∞ f(xn) = A
∀ ℰ > 0 ∃ Mℰ: x ϵ D, x > M ==> |f(x) – A| < ℰ
{xn} c D, xn → –∞
limn→∞ f(xn) = A
∀ ℰ > 0 ∃ Mℰ: x ϵ D, x < M ==> |f(x) – A| < ℰ
{xn} c D, xn → +∞
limn→∞ f(xn) = +∞
∀ M ∃ δ>0: x ϵ D, x≠a, |x – a|< δ ==> f(x) > M
{xn} c D, xn → –∞
limn→∞ f(xn) = –∞
∀ M ∃ δ>0: x ϵ D, x≠a, |x – a|< δ ==> f(x) < M
∀ M D ∩ (M, ∞) or ∀ M ∃ x ϵ D: x > M
состоит из бесконечного числа элементов
f(x), g(x) D, a – предельная точка
∃ limx→af(x) = A, limx→ag(x) = B
f(x) D, a ϵ D
- a – изолированная точка множества D ==> f непрерывна в точке a
- a – предельная точка D ==> f непрерывна в точке a <==> ∃ limx→af(x) = f(a)
Функция Дирихле:
1 – x рациональный,
f(x)
0 – x иррациональный.
Определение непрерывности в точке a:
∀ ℰ>0 ∃ δ>0: xϵD, 0<|x-a|<δ ==> |f(x)-f(a)| < ℰ,
здесь требование x ≠ a излишне:
∀ ℰ>0 ∃ δ>0: x ϵ D, |x-a|<δ ==> |f(x)-f(a)| < ℰ
В терминах последовательности:
∀ {xn} c D, xn → a ==> f(xn) → f(a)
Пусть D, f(x), g(x) – непрерывны в точке a ϵ D. Тогда непрерывны в точке a:
- f(x) ± g(x)
- f(x) ⋅ g(x)
- f(x)/g(x) (g(a) ≠ 0)
- |f(x)|
Любой полином будет непрерывной функцией:
f(x) = x:
x2 = x⋅x
x3 = x⋅x2
…
xn = x⋅xn-1
k=0Σn ak⋅xk = P(x)
P(x)/Q(x)
|sinx| ≤ |x|, |x| ≤ π/2
k ≤ |x|,
|sinx| ≤ k ≤ |x|
limx→asinx = sina
0 ≤ |sinx – sina| = |2⋅sin[(x-a)/2]⋅cos[(x+a)/2]| ≤ 2⋅|(x-a)/2|⋅1 = |x-a|
0 ≤ |sinx – sina| ≤ |x-a|
f(x), D g(y), Δ
f[D] c Δ
h(x) = g(x), D
Если f непрерывна в точке a ϵ D g непрерывна в точке b = f(a) ϵ Δ, тогда h(x) непрерывна в точке a.
∀ ℰ>0 ∃ σ>0: y ϵ Δ, |y-b| < σ ==> |g(y)–g(b)| < ℰ
Доказательство:
ℰ>0 ∃ σ>0: y ϵ Δ, |y-b| < σ ==> |g(y)–g(b)| < ℰ
σ>0 ∃ δ: xϵD, |x-a|<δ ==> |f(x)–f(a)| < σ
∀ ℰ>0 ∃ δ>0: xϵD, |x-a|<δ ==> |f(x)–f(a)| < σ ==> |g(f(x))–g(b)| < ℰ
|f(x)–b| |h(x)–h(a)| (т.к. g(b)=g(f(a))=h(a))
f(x), D
g(y), Δ h(x)=g(f(x))
f[D] c Δ
f непрерывна в точке a, g непрерывна в точке b=f(a) ==> h(x) непрерывна в точке a
limx→ag(f(x)) = g(limx→af(x)). Доказано.
Теорема о пределе суперпозиции
f(x), D
g(y), Δ
f[D] c Δ, a – предельная точка D
∃ limx→af(x) = b ϵ Δ, g непрерывна в точке b ==> ∃ limx→ag(f(x))=g(b)
limgx→a(f(x)) = g(b) = g(limx→af(x))
|
|
|
f’(x) непрерывна в точке a, f(a) = b, g непрерывна в точке b
f(x), x ≠ a
f’(x) =
b, x = a
f’(x) на Dv{a}
limx→af’(x) = limx→af(x) = b = f’(a) ==> f непрерывна в точке a
Теорема Вейерштрасса
Если функция непрерывна на каком-то множестве, то она непрерывна в каждой точке этого множества.
f(x) [a,b], f непрерывна на [a,b], f(x) ограничена на [a,b]
∀ x ϵ [a,b] |f(x)| ≤ M, 0 < M < ∞
- x1 ϵ [a,b] |f(x1)| > 1
- x2 ϵ [a,b] |f(x2)| > 2
- x3 ϵ [a,b] |f(x3)| > 3
…
- xn ϵ [a,b] |f(xn)| > n
{xn} c [a,b] {xnk}: limx→∞xnk = x0
a ≤ xn ≤ b a ≤ xnk ≤ b ==> a ≤ x0 ≤ b
limx→xof(x) = f(x0)
limk→∞f(xnk) = f(x0)
|f(xnk)| > nk –k→∞→ ∞
-∞ < inf[a,b]f(x) ≤ sup[a,b]f(x) < +∞, sup[a,b]f(x) = A
∃ x0 ϵ [a,b]: f(x0) = A
A-1 ∃ x1 ϵ [a,b]: A-1 < f(x1) ≤ A
A-½ ∃ x2 ϵ [a,b]: A-½ < f(x2) ≤ A
...
A-1/n ∃ xn ϵ [a,b]: A-1/n < f(xn) ≤ A
∃ {xnk}: limx→∞xnk = x0 ϵ [a,b]
f(x0) = limk→∞f(xnk) = A = sup[a,b]f(x)
A – 1/nk < f(xnk) ≤ A
Теорема Больцано-Коши:
f, [a,b] – непрерывна, f(a) ⋅ f(b) < 0 (разных знаков) ==> ∃ c ϵ (a,b): f(c) = 0
Доказательство:
Пусть f((a+b)/2) ≠ 0.
[a1,b1], f(a1)⋅f(b1) < 0.
Снова разделим пополам данный промежуток.
[a2,b2], f(a2)⋅f(b2) < 0.
Снова разделим пополам промежуток. Так, продолжая этот процесс, мы либо найдём точку c, где f(c)=0, либо такую точку не найдём, тогда последовательность
[an,bn], f(an)⋅f(bn) < 0,
[an,bn] c [an-1,bn-1],
bn-an = (b-a)/2n
стремится к нулю limn→∞ (b-a)/2n = 0.
{c} = ∩∞n=1 [an,bn]
xn – конец промежутка [an,bn], f(xn) > 0
yn – другой конец [an,bn], f(xn) < 0
xn → c, f(xn) > 0 limn→∞f(xn) = f(c) ≥ 0
==> ==> f(c) = 0.
yn → c, f(yn) < 0 limn→∞f(xn) = f(c) ≤ 0
Вывод из теоремы: если функция принимает на концах интервала [a,b] два значения одного знака, рассмотрим функцию y = ξ: f(a) < ξ < f(b). Тогда ∃ c: f(c) = ξ.
Доказательство:
f(a) < f(b), f(a) < ξ < f(b) ==> ∃ c ϵ (a,b): f(c) = ξ
g(x) = f(x) – ξ, g(a) = f(a) – ξ < 0,
g(b) = f(b) – ξ > 0;
∃ c: g(c) = 0 ==> ∃ c: f(c) – ξ = 0.
<a,b> – некоторый промежуток, т.е.: (a,b), (a,b], [a,b), [a,b].
Пусть f(x) определена и непрерывна на <a,b>. Тогда образ этого промежутка f[<a,b>] – тоже промежуток (это не означает, что функция непрерывна на этом промежутке, если только она не монотонна).
Доказательство:
Пусть A = inf<a,b> f(x), B = sup<a,b> f(x). Доказать, что (A,B) c f[<a,b>].
|
|
|
Возьмём ξ ϵ (A,B), ∃ c ϵ <a,b>: f(c) = ξ, т.к.:
A < ξ < B ==> ∃ x1 ϵ <a,b>: f(x1) < ξ;
∃ x2 ϵ <a,b>: f(x2) > ξ;
Пусть x1 < x2. Тогда [x1,x2] c <a,b>, f(x) непрерывна на [x1,x2], f(x1) < ξ, f(x2) > ξ, ==>
==> по т. Больцано-Коши ∃ c ϵ (x1,x2): f(c) = ξ.
Теорема: f определена на <a,b> и монотонна, если область значений f является промежутком, то f – непрерывна.
Доказательство:
Предположим, это не так. Тогда функция имеет разрыв.
Пусть функция возрастет: x1 < x2 ==> f(x1) ≤ f(x2), c ϵ (a,b) – точка разрыва. Тогда ∃ f(c-0), f(c+0):
f(c–0) = supa<x<cf(x) ≤ f(c) x < c ==> f(x) ≤ f(c)
==> ==> f(c-0) ≤ f(c) ≤ f(c+0), т.е. функция в точке c
f(c+0) = infc<x<bf(x) ≥ f(c) x > c ==> f(x) ≥ f(c) непрерывна, разрыва нет, противоречие.
f(x) = xh
f-1(y) = y1/n = 
Предположим, имеется число a > 0, ar, r ϵ ℚ. Пусть r = 
,
1. ar = (a1/n)m = (am)1/n = am/n
2. ar1⋅ar2 = ar1+r2
3. a-r = 1/ar
4. r1 < r2 ==> ar1 < ar2, a > 1
5. r1 < r2 ==> ar1 > ar2, 0 < a < 1
a > 1, ar /`
r = ∞ n = [r], a = 1 + λ, λ > 0
n → ∞, ar = (1 + λ)2 > (1 + λ)n = 1 + n⋅λ + … > 1 + n⋅λ → ∞
r = 
-r = 
p = 0, p = -r.
0 < a < 1:
1. ar = 1/(1/ar) = 1/(1/a)r → 0
2. 1/a > 1, (1/a)r → ∞
3. (ar1)r2 = ar1⋅r2
a > 1:
a1/n – 1 = 
– 1
= 1 + λ, λ > 0:
a = (
n = (1 + λ)n = 1 + n⋅λ + … > 1 + n⋅λ ==> a-1 > n⋅λ ==> λ < (a-1)/n ==> – 1 < (a-1)/n
a1/n – 1 < (a-1)/n
0 < r < 1:
1/(n+1) < r ≤ 1/n
ar – 1 ≤ a1/n – 1 < (a-1)/n = (n+1)/n ⋅ (a-1) ⋅ 1/(n+1), (n+1)/n = 1n+1/n ≤ 2
(a-1)/n < 2⋅(a-1)⋅r
-1 < r < 0:
0 < -r < 1
0 < 1 – ar = 1 – ar = 1 – 1/a-r = (a-r – 1)/a-r < a-r – 1 < 2⋅(a-1)⋅(-r)
0 < 1 – ar < a-r – 1 < 2⋅(a-1)⋅(-r)
|r| < 1 ==> |ar – 1| ≤ 2⋅(a-1)⋅|r|
Неравенство Бернулли
a > 1, ar/`
c ϵ ℚ
r,p ϵ ℚ, r,p < c
|r - p| < 1,
|ar - ap| = ap⋅|ar-p - 1| < ac⋅|ar-p - 1| ≤ ac⋅2⋅(a-1)⋅|r-p| = Mc⋅|r-p|, Mc = ac⋅2⋅(a-1)
ax, x notϵ ℚ, c > x, c ϵ ℚ. rn ϵ ℚ, rn → x, rn < c
∃ limn→∞arn = ax
Доказательство:
rn, rm
∃ N: |rn - rm| < 1 для n,m > N
|arn - arm| < Mc⋅|rn - rm| < Mc⋅(ℰ/Mc) = ℰ ==> критерий Коши доказан, предел существует
rn → x, pn → x
0 ≤ |arn - apn| < Mc⋅|rn - pn| → 0
|arn -ax| < Mc⋅|rn - x| ==> справедливо как для ℚ, так и для иррац.
|ax - ay| c > x,y, c ϵ ℚ, rn ϵ ℚ rn → x, rn < c
pn ϵ ℚ pn → y, pn < c
|arn - apn| < Mc⋅|rn - pn|
limx→y ax = ay
x < y ==> ax < ay
ax = limn→∞ arn, rn → x, rn ϵ ℚ
ay = limn→∞ apn, pn → x, pn ϵ ℚ
∃ N: n > N ==> rn < pn ==> arn < apn
↓ ↓
ax ≤ ay
x < λ < μ < y, λ,μ ϵ ℚ
rn > λ, pn > μ,
arn < aλ < aμ < apn
ax ≤ aλ < aμ
ay ≤ aλ < aμ
ax < ay
ax⋅ay = ax+y:
rn → x, pn → y
arn⋅apn = arn+pn → ax⋅ay = ax+y
xn → ∞ axn → +∞ lim ax = +∞
[xn] → ∞ axn ≥ [axn] → ∞
limx→–∞ ax= 0
(ax)y = axy:
x < 0:
0 < b < 1, b = 1/a, a > 1
by = (1/a)y = 1/ay
x,y, ϵ ℕ:
y = m
(ax)m = ax⋅ax⋅…⋅ax = ax⋅m
y < 0:
–m > 0
(ax)m = 1/ax(–m) = 1/a-xm = axm
y = 1/n:
(ax)1/n = n√ax
(ax/n)n = a(x/n)⋅n = ax ==> ax/n = n√ax = (ax)1/n
(ax)1/n = ax/n
y = m/n:
(ax)m/n = ((ax)1/n)m = (ax/n)m = a(x/n)⋅m = ax⋅(m/n)
pn → y, pn ϵ ℚ:
(ax)pn = ax⋅pn
x⋅pn → x⋅y
(ax)pn → (ax)y = ax⋅pn → ax⋅y
logax, xα
a > 1: 0 < a < 1: a = 1:
ax
ax 1 logax 1 ax
1 1
loga (xy) = loga x = loga y:
aα = aβ ==> α = β
aloga (xy) = x⋅y:
aloga x + loga y = aloga x ⋅ aloga y = x⋅y
loga x = logb x/logb a;
log1x
a = e = lim (1+1/n)n
e x = exp(x)
log e x = ln x
xα:
α = m/n:
xm/n = (x1/n)m.
xα = e α⋅ln x, x > 0
xα – непрерывная функция, т.к. e y – непрерывная.
(x⋅y)α = xα ⋅ yα:
(x⋅y)α = e α⋅ln (xy) = e α⋅ln x ⋅ e α⋅ln y = xα ⋅ yα
xα = e α⋅ln x = aα⋅log a x
