Вращательное движение твердого тела

1 2 3 4 5 6

1. Угол поворота j, измеряемый в радианах связан с числом полных оборотов N соотношением

2. Угловая скорость характеризует быстроту вращения и равно производной от угла по времени

Вектор w направлен вдоль оси вращения и связан с направлением вращения правилом «буравчика».

3. Угловая скорость связана с линейной скоростью вращающейся точки v соотношением

v = w r,

где r – расстояние от оси вращения до заданной точки тела.

4. Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости и равно производной от угловой скорости по времени

5. Угловое ускорение связано с тангенциальным ускорением вращающейся точки а_τ соотношением

6. Нормальное ускорение вращающейся точки а_n связано с угловой скоростью ω

7. Момент силы F, действующий на тело

где r – радиус, проведенный от оси вращения в точку приложения силы, α – угол между направлениями радиуса и вектора силы.

8. Основной закон динамики для вращательного движения

где - результирующий момент сил, действующих на тело, J – момент инерции тела.

9. Момент инерции тела J характеризует инерционные свойства тела, имеющего ось вращения, и зависит от размеров и формы тела, его массы и расположения оси вращения относительно центра масс тела.

Момент инерции системы N материальных точек равен

где r_i – модуль радиуса-вектора i -й материальной точки, имеющей массу m_i. Для сплошных тел момент инерции определяется как интеграл

где r – плотность тела; V – его объем.

Формулы для нахождения моментов инерции некоторых тел правильной геометрической формы приведены в табл.

Форма тела	Положение оси вращения	Момент инерции J
Материальная точка массой m	Проходит на расстоянии R от точки	mR ²
Однородный стержень длиной l и массой m	Проходит через середину стержня перпендикулярно его оси
Однородный диск (сплошной цилиндр) радиусом R и массой m	Совпадает с осью цилиндра
Однородный тонкостенный полый цилиндр (труба, обруч) радиусом R и массой m	Совпадает с осью цилиндра
Однородный шар радиусом R и массой m	Проходит через центр шара

Если ось вращения не совпадает с центром масс тела, а проходит параллельно ей на расстоянии b, то момент инерции тела J’ вычисляется по теореме Штейнера

где J – момент инерции тела, относительно оси, проходящей через центр масс тела.

10. Работа A при вращательном движенииопределяется соотношением

Если момент сил не изменяется во времени , то

где Δφ – угол поворота.

11. Мощность при вращательном движении

12. Кинетическая энергиявращающегося твердого тела равна

13. Моментом импульса вращающегося твердого тела называется векторная величина L, равная произведению момента инерции тела относительно оси вращения на его угловую скорость

L = J×w.

14. Для замкнутой вращающейся системы справедлив закон сохранения момента импульса: суммарный момент импульса системы есть величина постоянная

Пример

Шар массой m = 5 кг и радиусом r = 15 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения имеет вид . Найти результирующий момент сил в момент времени t = 2 с.