Колебания и волны

1. Процесс, при котором зависимость какой-либо характеристики системы (например, координаты точки) от времени описывается гармоническими функциями (синус или косинус), называется гармоническими колебаниями. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

где х (t) – смещение точки от положения равновесия в момент времени t; А – амплитуда, т.е. модуль максимального смещения; (w t + j ₀) – фаза колебаний; w – циклическая частота; j ₀ – начальная фаза.

2. Время, в течение которого система совершает одно полное колебание, называется периодом Т. Он однозначно связан с циклической частотой соотношением

3. Частота колебаний ν – это количество колебаний, совершаемое за единицу времени, т.е. величина, обратная периоду

4. Циклическая частота w зависит от внутренних свойств колеблющейся системы

− для тела на пружине , где k – жесткость пружины, m – масса груза;

− для математического маятника , где l – длина нити маятника, g – ускорение свободного падения.

5. Проекция скорости колеблющейся точки v_х определяется как производная от координаты по времени

где - максимальная скорость колеблющегося тела.

6. Проекция ускорения колеблющейся точки а_х определяется как производная от проекции скорости по времени

где - максимальное ускорение колеблющегося тела.

7.Потенциальная энергия материальной точки массой m, совершающей незатухающие гармонические колебания на пружине жесткостью k, равна

8. Кинетическая энергия

9. Полная механическая энергия

Таким образом, при незатухающих колебаниях полная механическая энергия системы сохраняет постоянное значение.

Пример.

Тело массой m = 2 кг совершает гармонические колебания по закону , мм. Найти амплитуду колебаний, их период, частоту, начальную фазу. Определить максимальные скорость и ускорение. Найти полную энергию тела.

Решение:

Запишем уравнение колебаний через функцию косинуса , мм и сравним его с уравнением гармонических колебаний в общем виде . В результате сравнения получаем амплитуду А = 5 мм; циклическая частота рад/с; начальная фаза рад.