Основные гипотезы о средних величинах следующие: гипотезы о значении генеральной средней (при известной генеральной дисперсии или при неизвестной генеральной дисперсии); гипотезы о равенстве генеральных средних нормально распределенных сово-купностей (при известных генеральных дисперсиях, при неизвестных равных генеральных дисперсиях, при неизвестных неравных генеральных дисперсиях).
Первая задача чаще всего решается при неизвестной генеральной дисперсии. Испытуемая гипотеза Н0 : m = m0, альтернативная гипотеза Н1: m ≠ m0. Испытание гипотезы проводят с помощью t - критерия. При большом числе наблюдений критическое значение критерия определяется по таблице интеграла вероятностей, при малом - по таблице распределения Стьюдента с заданным уровнем значимости и числом степеней свободы, п — 1.
Если испытуемая гипотеза Н0: m = а, то фактическое значение критерия представляет отношение оцениваемой разности к средней возможной ошибке выборочной средней.
, (7.36)
где - при большой выборке;
|
|
- при малой выборке.
Если tфакт > tкрит, Н0 не отклоняется, если tфакт < tкрит, H0 отклоняется.
Рассмотрим пример. Часовая выработка забойщика при добыче угля в шахте по норме составляет 400 кг. Фактическая выработка соответствовала норме. При переходе в новый забой условия работы забойщиков усложнились. Для проверки обоснованности нормы в новых условиях был проведен учет работы 9 забойщиков: их средняя часовая выработка составила 388 кг с дисперсией, равной s2 = 171.
Выдвигается гипотеза о том, что норму выработки пересматривать не нужно, т.е. Н0 : m = 400 кг. Проверим эту гипотезу на 5%-нюм уровне значимости. Критическое значение t -критерия определяется по таблице распределения Стьюдента при доверительной вероятности 0,95 (1 - 0,05) и числе степеней свободы d.f. =- n - 1 = 8. Критическое значение составит tкрит = 2,3. Фактические значения t -критерия вычисляются по формуле (7.36):
.
Поскольку tфакт > tкрит Н0 отклоняется. Норма выработки в новых условиях должна быть пересмотрена, так как производительность труда стала существенно ниже нормативной.
В рассмотренном примере различие между фактическим и таб-~ личным значениями /-критерия невелико, поэтому вывод недостаточно надежен. Надежность вывода вообще понижается, если нет уверенности в нормальном распределении генеральной совокупности.
Гипотеза о равенстве средних может рассматриваться как гипотеза о связи, если сопоставляются средние величины, обусловленные действием какого-либо фактора. Например, сравнивается средняя заработная плата рабочих двух специальностей. Нулевая гипотеза состоит в том, что специальность рабочего не влияет на заработок. Если окажется, что tфакт > tкрит, нулевую гипотезу отклоняют и делают вывод о том, что специальность оказывает влияние на заработную плату.
|
|
Рассмотрим решение этой задачи при условии, что генеральные дисперсии неизвестны, но принимаются равными. При сравнении средних величин выдвигается гипотеза, что обе выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности со средней m и дисперсией s2.
При неизвестной генеральной дисперсии формула t -критерия имеет вид:
. (7.37)
Поскольку s21 и s22 рассматриваются как выборочные оценки общей дисперсии s2, то формула (7.37) может быть записана так:
, (7.38)
где x̅1, x̅2 - выборочные средние; s2 - выборочная оценка общей дисперсии;
. (7.39)
Гипотеза H0 отклоняется, если
Рассмотрим пример. Для проверки устойчивости цен на яблоки в летний период на двух рынках города проведено выборочное обследование: на первом рынке по данным 15 продавцов определена средняя цена, равная 2 тыс. руб./кг. при среднем квадратическом отклонении s2 = 0,5 тыс. руб.; на втором рынке обследовано 17 продавцов, средняя цена оказалась равной 2,5 тыс. руб./кг, s2 = 0,4 тыс. руб.
Н0 : m = m0, Н1: m ≠ m0.
.
При a = 0,05 и d.f. = 30, tкрит = 2,042, tфакт > tкрит, H0 отклоняется, т. е. различия в ценах на двух рынках нельзя объяснить лишь случайностями выборки.
Проверка той же нулевой гипотезы при односторонней критической области будет проводиться на следующих условиях определения: tкрит: 1 - 2a и d.f. = n1 + n2 -2. Следовательно, если Н1 : m1 = m2 (2a = 0,1, d.f. = 30), так что H0 опять-таки отклоняется.
Случай проверки гипотезы о средних величинах при неизвестных дисперсиях, равенство которых не предполагается, здесь не рассматривается ввиду его недостаточной теоретической разработанности[6].