Лабораторная работа № 12

Тема. Указатели на функции.

Требования и общие указания к заданиям.

· Составить функцию, которая по заданной формуле (Симпсона, трапеций, прямоугольников и др.) вычисляет значение определённого интеграла от произвольной функции одной переменной или решает произвольное нелинейное уравнение f(x)=0 с помощью заданного численного метода.

· В качестве одного из параметров этой функции должен быть указатель на подынтегральную функцию или указатель на функцию левой части уравнения f(x)=0.

· Функцию для вычисления определённого интеграла проверить, используя аналитическое выражение для первообразной или с помощью какой-нибудь системы компьютерной математики (Mathcad, Mathematica и др.).

· При решении нелинейных уравнений корни отделить графически или другим способом. Отрезок, на котором находится корень, для функции предполагается известным.

· Запрограммировать проверку найденных решений нелинейных уравнений.

Варианты заданий.

В. Задачи второго среднего уровня.

1.Составить функцию, которая вычисляет значение определённого интеграла от произвольной функции одной переменной по формуле правых прямоугольников:

,

где n фиксировано, . Составленную функцию проверить для вычисления интеграла . Значение функции y=sin(t) вычислять с заданной точностью e., используя разложение в ряд Тейлора:

2. Составить функцию, которая вычисляет значение определённого интеграла от произвольной функции одной переменной. по формуле левых прямоугольников

,

где n фиксировано, . Составленную функцию проверить для вычисления интеграла . Значение функции y=cos(t) вычислять с заданной точностью e., используя разложение в ряд Тейлора:

.

3. Составить функцию, которая вычисляет значение определённого интеграла от произвольной функции одной переменной по формуле средних прямоугольников

,

где n фиксировано, Составленную функцию проверить для вычисления интеграла Значение функции y= e^t, где

t= 1/x, вычислять с заданной точностью e, используя разложение в ряд Тейлора:

4. Составить функцию, которая вычисляет значение определённого интеграла от произвольной функции одной переменной с помощью составной формулы трапеций:

где n фиксировано, . С помощью составленной функции вычислить значение интеграла для n=3, 6, 9. Для вычисления y = , где t= , составить и использовать функцию, которая реализует следующий итерационный алгоритм: … Вычисления продолжаются до тех пор, пока не выполнится условие . Массив y не формируется, достаточно двух переменных для старого и нового значений y.

5. Составить функцию, которая вычисляет значение определённого интеграла от произвольной функции одной переменной, используя составную формулу трапеций:

где n фиксировано, . С помощью составленной функции вычислить значения интеграла для с = 1, 1.2, 1.4, …, 2.8, 3. Для вычисления y = можно использовать стандартную встроенную функцию или вычислять по итерационной формуле, приведенной в варианте 4.

6. Составить функцию, которая вычисляет значение определённого интеграла от произвольной функции одной переменной, используя составную формулу Симпсона:

где n фиксировано, . С помощью составленной функции вычислить значение интеграла . Значение функции y= e^t, где t= -x², вычислять с заданной точностью e, используя разложение в ряд Тейлора:

7. Составить функцию, которая вычисляет значение определённого интеграла от произвольной функции одной переменной, используя составную формулу Симпсона:

где n фиксировано, . С помощью составленной функции вычислить значение интеграла для n=6. Значение функции y= ln(1+t), где t=x², вычислять с заданной точностью e, используя разложение в ряд Тейлора: .

8. Составить функцию для вычисления определённого интеграла от произвольной функции одной переменной по следующей формуле:

I ,

где n фиксировано и кратно трём, , , С помощью составленной функции вычислить значения интегралов для k = 1/4, 1/2, 1, 2, 4.

9.Составить функцию для приближённого решения произвольного нелинейного уравнения f(x)=0 методом деления отрезка пополам с точностью e. Используя эту функцию, решить уравнения для a = 0.5+0.1k, k=0,1,2,3,4,5 с точностью e₁=0.1.

10. Составить функцию для приближённого решения произвольного нелинейного уравнения f(x)=0 методом простой итерации с точностью e. Используя эту функцию, решить уравнения с точностью e₁=0.0001. Указание. В методе простой итерации исходное уравнение приводится к виду x=j(x). Начиная с некоторого заданного начального значения , строим последовательность по правилу . Вычисления прекращаем, если на некотором шаге получим , где — заданная точность решения уравнения.

11. Составить функцию для приближённого решения произвольного нелинейного уравнения f(x)=0 методом Ньютона с точностью e. Используя эту функцию, решить уравнения 3x-e^kx = 0 для k = 1, 2, 3, 4, 5 с точностью e₁=10^-5. Значение e^t вычислять с заданной точностью e₂= 10^-6с помощью разложения в ряд Тейлора

e^t = 1 + t + .

Указание. В методе Ньютона по заданному начальному приближению x_остроим последовательность по правилу

; n=0,1, 2, 3, …

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не выполнится условие . Массив x не формируется, достаточно двух переменных для старого и нового значений x.

12. Составить функцию для приближённого решения нелинейного уравнения f(x)=0 с точностью e методом секущих. Используя эту функцию, решить уравнения для = 2(0.1)3 с точностью e₁=10^-5. Указание. В методе секущих по двум начальным приближениям строим последовательность по правилу

; n= 1,2, 3, …

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не выполнится условие . Массив x не формируется, достаточно двух переменных для старого и нового значений x.

13. Составить функцию для решения произвольного нелинейного уравнения f(x) модифицированным методом секущих с точностью e. Используя эту функцию, решить уравнение для =3(0.5)7 с точностью e₌ . Указание. В модифицированном методе секущих по двум начальным приближениям строим последовательность по правилу

для n=1, 2, …, при . Вычисления прекращаем, если на некотором шаге получим , где — заданная точность решения уравнения.

14. Составить функцию, которая находит приближенно, с точностью до 0,001, минимум произвольной функции от одной переменной на отрезке [ u, v ]. С помощью составленной функции найти минимум функции y= +sin(x) на отрезке (-0.9, 0.9). Значение функции y= sin (x) вычислять с заданной точностью e, используя разложение в ряд Тейлора:

15. Составить функцию, которая выводит таблицу значений произвольной функции от одной переменной на отрезке [ u, v ] с шагом h. С помощью составленной функции построить таблицу значений функции y=arctg(x) на отрезке [ -1, 1 ] с шагом h=0.1. Значение функции y=arctg(x) вычислять с заданной точностью e, используя разложение в ряд: