Паранепротиворечивая логика

Наука непримирима к противоречиям и успешно борется с ними. Но в жизни многих научных теорий, особенно в начале их развития, имеются периоды, когда они не свободны от внутренних противоречий.

Логика, требующая исключения противоречий, должна считаться с этим обстоятельством. К тому же ей самой присущи внутренние противоречия (логические парадоксы), периодически доставляющие немало беспокойства.

Классическая логика подходит к противоречиям несколько прямолинейно. Согласно одному из ее законов, из противоречия следует все, что угодно. Это означает, что противоречие запрещается, притом запрещается под угрозой, что в случае его появления в теории окажется доказуемым любое утверждение. Очевидно, что тем самым теория будет разрушена.

Однако реально никто не пользуется этим разрешением выводить из противоречий все, что попало. Практика научных рассуждений резко расходится в данном пункте с логической теорией.

В качестве реакции на это рассогласование в последние десятилетия начали разрабатываться различные варианты паранепротиворечивой логики, удовлетворяющая условию, когда из противоречивости относительно отрицания не следует тривиальность[6].

Эта логика представляет одно из направлений современной неклассической математической логики. Объективной основой появления паранепротиворечивых логик является стремление отразить средствами логики специфику мышления человека о переходных состояниях, которые наряду с устойчивостью и от­носительным покоем наблюдаются в природе, обществе и поз­нании. В природе и обществе происходят изменения, предме­ты и их свойства переходят в свою противоположность, поэтому нередки переходные состояния, промежуточные ситуации, не­определенность в познании, переход от незнания или неполно­го знания к более полному и точному. Действие законов дву­значной логики - закона исключенного третьего и закона непротиворечия - в этих ситуациях ограничено или вообще исключено. На необщезначимость этих законов указывал еще Ари­стотель. Говоря о будущих единичных случайных событиях, по Аристотелю, нельзя считать суждение истинным или ложным, оно неопределенно.

Закон непротиворечия утверждает, что два противоположных суждения не могут быть истинными в одно и то же время и в одном и том же отношении. Но в разное время они могут быть оба истинными. Аристотель писал: “Все изменяющееся необхо­димо должно быть делимым... необходимо, чтобы часть изменя­ющегося предмета находилась в одном (состоянии), часть - в дру­гом, так как невозможно сразу быть в обоих или ни в одном”'.

Вследствие неопределенности интервалов и неопределенности состояний изменяющегося предмета предполагается временная ин­тервальная Паранепротиворечивая семантика, допускающая истин­ность как высказывания А, так и не-А. Кроме временных интер­валов с переходными состояниями, наше мышление имеет дело с так называемыми нечеткими понятиями (нежесткими, расплывча­тыми, размытыми –fuzzy), отражающими нежесткие множества, концепция которых предложена в 1965 г. американским математи­ком Л. Заде. Все это обусловило необходимость и возможность появления паранепротиворечивых логик (paraconsistent logics) -логических исчислений, которые могут лежать в основе противо­речивых формальных теорий. Противоречивые данные возника­ют на судебных заседаниях, в дискуссиях, полемике, при поста­новке диагноза болезни, в научных теориях (прежних и новых), в ситуациях, связанных с решением нравственных проблем, в дру­гих сферах интеллектуальной деятельности. В связи с этим встала проблема создания информационной системы, работающей с про­тиворечивыми данными.

Предшественниками паранепротиворечивой логики как нового вида неклассичесиой формальной логики явились логики Н. А. Ва­сильева и Я. Лукасевича. Работы этих авторов были опубликованы в 1910 г. Первая более или менее оформленная система паранепротиворечивой логики под названием дискурсивной (дискуссивной) была предложена С. Яськовским в 1948 г. Начиная с 1963 г., паранепротиворечивые логики систематически разрабатываются да Костой и его учениками. Близка к паранепротиворечивым логикам система И. Д. Заславского, который исходит из идеи симметрии конструктивной истинности и конструктивной ложности. История паранепротиворечивой логики изложена бразильским логиком А. И. Аррудой в работе “Об­зор паранепротиворечивой логики. Математическая логика в Ла­тинской Америке”'.

Интересно отметить, что одним из первых (еще в 1910 г.) сомнения в неограниченной приложимости закона непротиворечия высказал русский логик Н.А.Васильев. «Предположите, — говорил он, — мир осуществленного противоречия, где противоречия выводились бы, разве такое познание не было бы логическим?» Васильев писал не только научные статьи, но и стихи. В них иногда своеобразно преломлялись его логические идеи, в частности идея воображаемых (возможных) миров:

Мне грезится безвестная планета,

Где все идет иначе, чем у нас.

В качестве логики воображаемого мира он и предложил свою теорию без закона противоречия, долгое время считавшегося центральным принципом логики. Васильев полагал необходимым ограничить также действие закона исключенного третьего и в этом смысле явился одним из идейных предшественников интуиционистской логики.

Новаторские идеи Васильева не были поняты современниками. Они истолковывались неверно, объявлялись безграмотными. Васильев тяжело переживал подобную «критику» и вскоре оставил занятия логикой. Потребовалось полвека, прежде чем его «воображаемая логика» без законов противоречия и исключенного третьего была оценена по достоинству.

В паранепротиворечивых системах принцип (закон) непротиво­речия лишен всеобщей значимости. Логике не присущи ни единст­во, ни абсолютность - эту мысль мы встречаем у многих совре­менных логиков, в том числе у Н. да Косты. В статье, написанной специально для журнала “Философские науки”, “Философское значение паранепротиворечивой логики” Н. да Коста пишет: “До­пустим, что имеющийся у нас язык дедуктивной теории Т содер­жит в себе символ отрицания. Т называют противоречивой (in­consistent) теорией, если и только если в Т имеются две теоремы, одна из которых есть отрицание другой; в противоположном слу­чае Т считается непротиворечивой (consistent). Т считают триви­альной, если и только если все формулы (или все высказывания [sentences]) языка Т являются также теоремами Т; в противном случае мы называем Т нетривиальной... Система логики паранепротиворечива, если она может быть использована как логика, лежащая в основе противоречивых, но нетривиальных теорий”. Н. да Коста полагает, что вместо стандартных теорий множеств могут быть использованы паранепротиворечивые теории мно­жеств. Система паранепротиворечивой логики в общем случае должна удовлетворять следующим условиям:

1) из двух противоречащих формул А и u А в общем случае нельзя вывести произвольную формулу В;

2) дедуктивные средства классической логики должны быть максимально сохранены, поскольку они - основа всех обычных рассуждений. В первую очередь должен быть сохранен modus poaens, т. е. рассуждение по формуле ((а > b)^ а) > b.

Паранепротиворечивая логика связана со многими видами не­классических логик: с модальной логикой (системой S5 К. И. Льюиса), с многозначными логиками, с релевантной логи­кой, где тоже не принимается принцип: из противоречия следует все, что угодно'. Исследование многозначных логик показало, что закон непротиворечия, т. е. формула , не является тавтологи­ей в следующих системах: трехзначных логиках - Я. Лукасевича, Г. Рейхенбаха (для циклического и диаметрального отрицаний), Р. П. Гудстейна, Д. Бочвара (для внутреннего отрицания); т -значной логике Э. Л. Поста. Автор этого учебника исследовала 13 фор­мализованных логических систем с 17 имеющимися в них вида­ми отрицания и установила, что для 10 видов закон непротиворечия является тавтологией (доказуемой формулой), а для остальных 7 нет. Это обусловлено тем, что, кроме значений истинности - “ис­тина” и “ложь”, в многозначных логиках имеется значение “неопределенно”. Но в классической, конструктивных и интуи­ционистской логиках от закона непротиворечия нельзя отказать­ся, ибо в этих логиках отражены жесткие ситуации “или - или” (“истина - ложь”), конструктивный процесс присутствует или его нет, одновременно того и другого не бывает. Поэтому классичес­кая, интуиционистская, конструктивная и ряд других логик не го­дятся в качестве логик, которые могут быть основанием противо­речивых, но нетривиальных теорий. Положительные логики также для этого не годятся, ибо в них нет операции отрицания. Некото­рое современные логики (например, немецкий логик К. Вессель) не признают паранепротиворечивых логик. Построением паранепротиворечивых логических систем занимаются, од­нако, отечественные логики А. С. Карпенко, А. Т. Ишмурагов и др.

Интересны и оригинальны статьи американского математи­ка Н. Белнапа “Как нужно рассуждать компьютеру” (1976) и “Об одной полезной четырехзначной логике” (1976), посвященные формализации общения с информационными системами, в ко­торых содержится противоречивая информация. Белнап постро­ил четырехзначную логику, значениями истинности которой яв­ляются следующие: Т - “говорит только Истину”; F - “говорит только Ложь”; None - “Не говорит ни Истины, ни Лжи”; Both -“говорит и Истину, и Ложь”'. Н. Белнап отмечает, что входные данные поступают в компьютер из нескольких независимых источников, и в таких условиях проявляется типичная особен­ность информационной ситуации - угроза противоречивости информации. Что в таком случае должен делать компьютер, осо­бенно если в системе содержится необнаруженное противоре­чие? Свою четырехзначную логику Белнап и предлагает в каче­стве практического руководства в рассуждениях.

Другим видом паранепротиворечивой логики является логика, двойственная интуиционистской. Если язык логики высказываний содержит только конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание, то подход к ней естественен. Ей прямо можно сопоставить некоторую алгебраическую структуру. В случае с классической логикой - булеву алгебру, в случае с интуиционистской - алгебру Гейтинга. И в первом и во втором случаях естественным образом вводится импликация. Дуальной к гейтинговской алгебре является алгебра Брауэра. Если первую мы можем рассматривать как множество открытых множеств с операциями объединения и пересечения и ввести импликацию и отрицание (как внутренность дополнения), то брауэрову алгебру мы можем рассматривать как множество замкнутых множеств с операциями объединения и пересечения и операциями разности (антиимпликации) и отрицания как замыкание дополнения.

Итак, паранепротиворечивые логики демонстрируют возмож­ность наличия очень сильных противоречивых, но нетривиаль­ных (т. е. паранепротиворечивых) теорий. Отказываются от закона непротиворечия, терпимы к противоречиям различного рода. Эти логики не исключают возможность пресыщенных истинностнозначных оценок, избегают тривиальной сверхполноты, противоречие не всегда разрушает текст, а иногда и приводит к его подлинной специфичности.