Пример выполнения работы

На двух станках могут обрабатываться детали трех видов. В течение рабочего дня на первом станке может быть обработано 30 деталей первого вида, или 30 деталей второго вида, или 42 детали третьего вида. На втором станке в течение рабочего дня может быть обработано 18 деталей первого вида, или 50 деталей второго вида, или 150 деталей третьего вида.

Пусть 2 детали первого вида, 5 деталей второго вида и 3 детали третьего вида составляют один полный комплект. Определить оптимальный план работы станков, то есть указать, какую часть рабочего дня каждый станок должен обрабатывать детали каждого вида с тем, чтобы число комплектов деталей было наибольшим.

Перечисленные данные запишем в табл. 5.2.

Т а б л и ц а 5.2

Станки	Детали
I
II
Комплектность	2: 5: 3

Составим математическую модель станковой задачи. Пусть – часть рабочего дня, в течение которой на -м станке обрабатываются детали -го вида, , . Тогда план работы станков можно представить таблицей

X =	Станки	Детали

Обозначим через число комплектов деталей, которое будет получено в соответствии с этим планом.

Поскольку рабочий день принят за единицу, то имеем систему ограничений на время работы каждого станка

. (5.4)

Условия неотрицательности неизвестных:

, , . (5.5)

Чтобы составить целевую функцию, найдем количество деталей каждого вида, обработанных двумя станками по плану :

– количество деталей первого вида,

– количество деталей второго вида,

– количество деталей третьего вида.

Так как один комплект состоит из 2 деталей первого вида, 5 деталей второго вида и 3 деталей третьего вида, то общее число комплектов деталей выражается функцией

. (5.6)

Таким образом, математической моделью станковой задачи является задача максимизации целевой функции (5.6) при условиях (5.4)-(5.5).

Рассмотрим два плана обработки деталей. По плану

X1 =	Станки	Детали

число комплектов деталей составляет

.

Так как число комплектов должно быть целым, то считаем, что .

Второй (оптимальный) план получим с помощью процедуры «Поиск решения» табличного процессора Excel. Математическая модель станковой задачи может быть сведена к задаче линейного программирования. Действительно, из определения целевой функции (4.12) следует, что

, , . (5.7)

При этом число

– целое. (5.8)

Поэтому, если включить в число неизвестных, то получим математическую модель в виде задачи максимизации функции при ограничениях (5.4), (5.5), (5.7), (5.8). Эта модель относится к линейному частично целочисленному программированию. Решение задачи выполним в Excel. В ячейки серого цвета, как показано в табл. 5.3, поместим неизменяемую информацию. В блок ячеек B3: D5 поместим исходные данные задачи, а именно, число обработанных деталей каждым станком в течение рабочего дня и комплектность деталей. Блок ячеек B8: D9 и ячейку F12 предусмотрим для значений оптимального плана работы станков и значения . Эти ячейки оставляем пустыми. В ячейки E8: E9 поместим формулы для записи левых частей системы (5.4), а именно,

= СУММ(B8: D8)

и

= СУММ(B9: D9).

В ячейки G8: G9 поместим 1 – правые части системы (5.4). В блок ячеек B12: D12 поместим выражения для левых частей неравенств (5.7). Для этого в ячейку B12 запишем формулу

= СУММПРОИЗВ(B3: B4; B8: B9) / B5

и протянем ее на ячейки C12, D12. Наконец, в ячейку G12 поместим «короткую» формулу для целевой функции

= F12.

Т а б л и ц а 5.3

	A	B	C	D	E	F	G
		Количество обработанных деталей вида
	Станки
	Комплект-ность
		Время обработки деталей	Левая часть	Знак	Правая часть
		0,666667	0,333333			<=
			0,8	0,2		<=
		Число комплектов	Знак	z	ЦФ max
					>=

После заполнения табл. 5.3 следует обратиться к процедуре «Поиск решения» и заполнить появившееся окно информацией, указанной на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Обращение к процедуре «Поиск решения»

в задаче о комплектном выпуске продукции

Результатом решения задачи в Excel служит оптимальный план обработки деталей, полученный в табл. 5.3.

Xmax =	Станки	Детали
	0,67	0,33
		0,8	0,2

Для этого плана число полных комплектов деталей равно . На рис. 5.3 помещена диаграмма, которая для каждого станка показывает часть рабочего дня, в течение которой согласно оптимальному плану он должен быть занят обработкой деталей.

Рис. 5.3. Линейчатая диаграмма с накоплением На диаграмме каждому станку соответствует прямоугольник длины 1 (рабочий день) с разбивкой на доли времени, отведенного на обработку деталей трех видов.