Проблема обеспечения точности и достоверности результатов можно решить следующим образом. Обозначают точность оценки величиной Е. Из-за наличия стохастичности ограниченности числа опытов N получают оценку . Задаются неравенством
(4.72)
и вероятностью P, что неравенство (4.72) выполняется
(4.73)
где Q – называют достоверностью оценки. Вводят относительную точность оценки
(4.74)
с учетом которой достоверная оценка будет равна
(4.75)
Если известен закон распределения , то с помощью анализа формулы (4.73) или (4.75) можно определить количество реализаций N.
В тех случаях, когда закон распределения найти не удается, то выдвигают предположение о характере закона распределения случайной величины Е.
Рассмотрим взаимосвязь точности и достоверности, когда в качестве показателей эффективности Е, выступают вероятность Р, математическое ожидание а и дисперсия s2.
Пусть вероятность появления некоторого события А, которое определяется состояниями процесса функционирования исследуемой системы, равна
|
|
Р=Р(А)
В качестве оценки вероятности Р в данном случае выступает
где m - число положительных исходов. Тогда соотношение (4.73), связывающее точность и достоверность оценок с количеством реализаций, будет иметь вид
(4.76)
Для ответа на вопрос о законе распределения величины представим эту частность в виде
так как количество наступлений события А в данной реализации из N реализаций является случайной величиной x, принимающей значения х1=1 с вероятностью Р и х2=0 с вероятностью (1-P).
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины x будут равны
Тогда
Это соотношение говорит о несмещенности оценки для вероятности Р.
С учетом независимости значений величины получаем
В силу центральной предельной теоремы теории вероятностей при достаточно больших N можно рассматривать частность как случайную величину, с нормальным законом распределения вероятностей с математическим ожиданием Р и дисперсией
С учетом квантиля нормального распределения вероятностей точность оценки
(4.77)
Количество реализаций для получения оценки с точностью e и достоверностью будет равно
(4.78)
Квантиль порядка находится из специальных таблиц.
Пример. Необходимо рассчитать количество реализаций N при статистическом моделировании системы S, когда в качестве показателя эффективности используется вероятность P при достоверности и точности
Ввиду того, что значения P до проведения эксперимента неизвестны, то вычисляют множество оценок N для диапазона возможных значений P, т.е. от 0 до 1 с дискретностью 0.1. Результаты расчетов с использованием выражения (4.78) представлены в таблице 4.17.
|
|
Из таблицы 4.17 видно, что при переходе от (0.9) и количество реализаций N возрастает примерно в 2,5 раза, а при переходе от и количество реализаций возрастает примерно в 25 раз.
Таблица 4.17
Вероятность Р | Точность | ||
0.05 | 0.02 | 0.01 | |
0.1 (0.9) | |||
0.2 (0.8) | |||
0.3 (0.7) | |||
0.4 (0.6) | |||
0.5 (0.5) |
При тактическом планировании машинных экспериментов, когда значение P неизвестно, поступают следующим образом. Берут произвольно значение N0, определяют по формуле а затем по формуле (4.78) проводят вычисления, в которой вместо P подставляют P0. Такая процедура оценки N может выполняться многократно.
Если отсутствует возможность получения каких-либо априорных сведений о вероятности P, то в таких случаях целесообразно задавать относительную точность результатов моделирования .
Для этих случаев формула (4.78) принимает вид
(4.79)
Оценку показателя эффективности Е модулируемой системы можно дать по результатам определения среднего значения некоторой случайной величины. Если случайная величина x имеет математическое ожидание а и дисперсию s2 и принимает в i -той реализации значение , то в качестве оценки математического ожидания а принимают
При больших значениях N в силу предельной центральной теоремы теории вероятностей среднее арифметическое будет иметь распределение, близкое к нормальному с математическим ожиданием а и дисперсией .
Точность оценки для математического ожидания равна а количество реализаций
(4.80)
Если же в качестве показателя эффективности Е выступает дисперсия s2, а в качестве ее оценки используется выборочная дисперсия S2, то математическое ожидание и дисперсия будут
где – центральный момент четвертого порядка случайной величины.
Для частного случая, когда случайная величина имеет нормальное распределение, когда получаем
(4.81)
Для дисперсии s2 точность оценки
отсюда количество реализаций
или .
Из выражений (4.79¸4.81) видно, что количество реализаций существенно зависит от дисперсии оцениваемой случайной величины. Поэтому выгодно выбирать те оцениваемые показатели эффективности Е, которые имеют малые дисперсии.