2015-02-04
422
Критерий Михайлова является частотным критерием устойчивости. В его основу положен принцип аргумента [1], известный из теории функций комплексного переменного.
Рассмотрим использование частотного критерия Михайлова для анализа устойчивости простейшей электрической системы, рассмотренной в разд. 3.2, 3.3.
Исходя из вида характеристического уравнения (3.13), запишем характеристический многочлен 
(3.14)
Осуществляя подстановку 
в (3.14) получим характеристический вектор 
(3.15)
Разделим действительную и мнимую составляющие вектора ,
= 
(3.16)
где 
Вектор , изображенный в декартовых координатах на плоскости, при изменении - ¥ < 
< ¥ вращается и концом вектора описывается кривая, которая называется годографом характеристического уравнения.
Практическая формулировка критерия Михайлова: система будет устойчива, если при возрастании w от 0 до ¥ годограф, начинаясь на положительной части вещественной оси, проходит последовательно в положительном направлении 
квадрантов, где – степень характеристического уравнения.
Такое перемещение годографа соответствует повороту вектора на угол 0,5 p .
Для построения годографа определим точки пересечения
с вещественной 
и мнимой 
осями:
а) пересечение годографа с осью происходит при 
=0
= 
Таким образом, первая точка пересечения при 
соответствует 
; вторая точка при 
соответствует 
б)пересечение годографа с осью происходит при
= 
;
Выбираются только положительные значения корней, так как 
изменяется от 0 до ¥.
Для построения графика зададимся рядом значений 0<w<¥ и рассчитываем соответствующие значения 
и
Таблица 3.1
| w | 5·10-2 | 8·10-2 | 10-1 | 2·10-1 | ¼ | ¥ | |
| U | 0.308 000,308 | -10.8 | -28.16 | -44.17 | -177.6 | ¼ | -¥ |
| V | 2.67 | 3.08 | 2.47 | -17.99 | ¼ | -¥ |
|
Годограф характеристического уравнения (3.13) представлен на рис. 3.2
На основании полученного годографа, используя критерий Михайлова, можно сделать вывод об устойчивости системы.
