Метод симметрии

Теорема. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести его лежит на плоскости, оси или в центре симметрии.

На основании этой теоремы можно легко определить положение центров тяжести следующих тел:

1)Центр тяжести отрезка прямой лежит в его середине.

2)Центр тяжести окружности, круга, поверхности и объема шара находится в их геометрических центрах.

3)Центр тяжести периметра и площади параллелограмма, ромба, прямоугольника и квадрата лежит в точке пересечения их диагоналей.

4)Центра тяжести периметра и площади правильного многоугольника находится в центра вписанного (или описанного) круга.

2. Метод разбиения.

Этот метод применяется в случае, если данное тело можно разбить на конечное число частей, для которых положение центра тяжести заранее известно. Например, тело, показанное на рис.8.3.

Рис.8.3.

Тогда производят это разбиение и координаты центра тяжести всего тела определяют по указанным ранее формулам (8.4), (8.5) или (8.6). При этом число слагаемых в каждом из числителей будет равно числу частей, на которое разбито тело.

Замечание. Если тело имеет вырезы, то объемы или площади вырезов в указанных формулах берутся отрицательными.

3. Метод интегрирования.

Если тело нельзя разбить на конечное число частей, то применяется метод интегрирования (рис.8.4).

Рис.8.4.

Суть его в следующем: тело разбивают на произвольно малые объемы DV_k, для которых указанные формулы принимают вид

x_C= и т.д.

где x_k, y_k, z_k -координаты некоторой точки, лежащей внутри объема DV_k. Затем в этих равенствах переходят к пределу при DV_k®0. Тогда стоящие в числителях суммы преобразуются в интегралы, распространенные на весь объем тела и формулы принимают вид:

(8.7)

Аналогично получаются формулы для координат центра масс плоских фигур и линий

(8.8)

(8.9)