2015-02-27
447
Понятие направленного угла между векторами вводится на ориентированной плоскости.
Пусть 
и 
- ненулевые векторы, заданные в определенном порядке ( - первый вектор, - второй вектор).
Если || , то направленным углом между вектором и вектором называется
величина 
, если базис , - правый;
величина 
, если базис , - левый.
Если 
, то направленный угол между ними считается равным 
, если 
, то 
(рис. 43).
Направленный угол между вектором и вектором обозначается так:
.
На чертеже направленный угол между векторами и показывают дугой со стрелкой, идущей от первого вектора ко второму.
Из определения направленного угла между векторами и следует, что он находится в следующих пределах:
 .
|
Рассмотрим две прямоугольные декартовы системы координат 
и 
. Пусть М(х;у) в , 
в . Так как прямоугольная система координат - частный случай аффинной, то можно пользоваться формулами (5) из §12, но коэффициенты 
, 
, 
, 
уже не могут быть произвольными.
Найдем координаты векторов 
, 
в старой системе . Рассмотрим два случая.
1) Базисы 
, 
и , одинаково ориентированы (рис. 44).
Пусть направленный угол 
. Приведем векторы и к общему началу О (рис. 45).
 |
Прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе и острому углу (
, 
), следовательно, 
и 
.
Из 
находим:
;
.
Следовательно, 
.
; 
.
Следовательно, 
. Тогда формулы (5) примут вид:
;
. (8)
Заметим, что определитель матрицы перехода от базиса , к базису ,
.
2) Базисы , и , противоположно ориентированы (рис. 46).
Пусть . Приведем векторы и к общему началу О (рис. 47).
Рассуждая аналогично случаю 1), получим:
;
;
; 
.
Следовательно, ; 
.
Тогда формулы (5) примут вид:
;
. (9)
Заметим, что определитель матрицы перехода от базиса 
, к базису , в этом случае
.
Формулы (8) и (9) можно объединить:
 ,
 ,
|
.
