Коды Хэмминга (Hamming codes) — это простой, класс блочных кодов, которые имеют следующую структуру:
(n, k ) = ( - 1, - 1 - т), (13.1)
где m = 2, 3,.... Минимальное расстояние этих кодов равно 3, поэтому, согласно уравнениям (6.44) и (6.47), они способны исправлять все однобитовые ошибки или определять все модели ошибки из двух или малого числа ошибок в блоке. Декодирование с помощью синдромов особенно хорошо подходит к кодам Хэмминга. Фактически синдром можно превратить в двоичный указатель местоположения ошибки [5]. Хотя Хэмминга не являются слишком мощными, они принадлежат к очень ограниченному классу блочных кодов, называемых совершенными; их особенности описывались в разделе 6.5.4 коды. Если предположить, что используется жесткое декодирование, вероятность появления битовой ошибки можно записать с помощью уравнения (6.46):
(13.2)
Здесь р — вероятность ошибочного приема канального символа (вероятность перехода в двоичном симметричном канале). Для отдельных кодов коррекции ошибок (таких как коды Хэмминга) вместо уравнения (6.72) мы можем использовать другое эквивалентное уравнение (это уравнение (Г. 16), которое выводится в приложении Г ):
|
|
(13.3)
На рис. 6.21 Л.2 приведен график зависимости вероятности ошибки в декодированном бите от вероятности ошибки в канальном символе, на котором сравниваются разные блочные коды. Для кодов Хэмминга на графике взяты значения m = 3, 4 и 5 или (п, к)- (7,4), (15, 11), (31,26). Для описания гауссового канала с использованием когерентной демодуляции сигналов BPSK, вероятность ошибки в канальном символе можно выразить через , как это было сделано в уравнении (4.79Л2):
(13.4)
Вероятность ошибочного приёма канального символа, р
Рис. 11.21. Зависимость вероятности битовой ошибки от вероятности
ошибки в канальном символе для нескольких блочных кодов
. Здесь — отношение энергии кодового символа к спектральной плотности мощности шума, a Q(X) определено в уравнении (3.43). Чтобы связать с энергией бита информации на единицу плотности спектрального шума (), используем следующее выражение:
. (11.5)
Для кодов Хэмминга уравнение (6.75) принимает следующий вид:
. (11.6)
Объединяя уравнения (6.73), (6.74) и (6.76), при когерентной демодуляции сигналов BPSK в гауссовом канале можно выразить как функцию . Результаты для различных типов блочных кодов отображены на рис. 11.22. Для кодов Хэмминга взяты следующие значения (п,к)= (7,4), (15, 11), (31,26).
(дБ)
Рис. 11.22. Зависимость от при когерентной
демодуляции сигналов BPSK в гауссовом канале для
нескольких блочных кодов