Уравнения, используемые при моделировании

При моделировании, описание процессов исследуемого объекта сводится к составлению различного рода уравнений (алгебраических, дифференциальных интегральных), наиболее часто при решении задач используются следующие три вида уравнений:

1. дифференциальные уравнения в дифференциалах;

2. дифференциальные уравнения в производных;

3. простейшие интегральные уравнения с последующим преобразованием их в дифференциальные уравнения.

Рассмотрим, как составляются уравнения каждого из приведенных видов.

Уравнения в дифференциалах. Сущность метода дифференциалов заключается в том, что из условия задач составляются соотношения между дифференциалами. Для этого малые приращения величин заменяются их дифференциалами, неравномерно протекающие физические процессы в течение малого промежутка времени рассматриваются как равномерные. Так как отношение дифференциалов функции и аргумента является пределом отношения их приращений, то по мере того, как приращения стремятся к нулю, принятые допущения выполняются с большой точностью. Получающиеся при этом дифференциальные уравнения оказываются точными, если они однородны и линейны относительно дифференциалов.

Пусть перед исследователем стоит задача определения поверхности вращения, по которой нужно отшлифовать зеркало рефлектора, чтобы выходящие из одной точки световые лучи после отражения в зеркале пересекались в другой точке.

Задача сводится к нахождению уравнения сечения искомой поверхности меридианной плоскостью, проходящей через точку , в которой помещается источник света, и точку , в которой пересекаются отраженные лучи (рис.4).

Пусть – малая дуга этого сечения. Будем ее считать прямолинейным отрезком. Опишем из точек и , как из центров, дуги MN и MP окружностей радиусами и . Эти дуги также будем считать прямолинейными отрезками.

Треугольники и – прямоугольные ( и – прямые) с общей гипотенузой .

Пользуясь известным законом оптики о равенстве углов падения и отражения, а также свойством равенства вертикальных углов, находим, что = и = . Отсюда следует, что = . Так как , а , то, заменяя приращения радиусов-векторов и их дифференциалами, имеем дифференциальное уравнение

или

откуда находим общий интеграл

Сечение искомой поверхности меридианной плоскостью является эллипсом. Следовательно, зеркало рефлектора необходимо отшлифовать по поверхности эллипсоида вращения.

Уравнения в производных. Сущность метода производных заключается в том, что из условия задачи составляются приближенные соотношения между скоростями изменения функции и аргумента.

Например, при исследовании роста числа публикаций в науке исходят из выявленной закономерности, что скорость роста пропорциональна достигнутому уровню y числа публикаций.

Следовательно, дифференциальное уравнение примет вид

где k = const, относительная скорость роста числа публикаций.

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид

где a – постоянная, характеризующая некоторое начальное число публикаций.

3. Простейшие интегральные уравнения. При рассмотрении работы сил, объемов тел, площадей криволинейных поверхностей их можно описать при помощи определенного интеграла или интегральных формул. В случае если при таком описании неизвестные функции попадают под знак интеграла, то получаемая формальная запись называется интегральным уравнением.

Последующее дифференцирование интегрального уравнения преобразует его в дифференциальное.

Например, пусть нужно найти закон прямолинейного движения материальной точки массы m, если известно, что работа действующей на точку силы пропорциональна времени t, прошедшему от начала движения. Начальный путь и начальная скорость равны соответственно s₀ и v₀.

Из курса механики известно, что в случае прямолинейного перемещения точки, когда направления силы и скорости совпадают, работа где F(u) – действующая на точку сила.