Интегрирование иррациональных функций

Интегрирование алгебраических и трансцендентных иррациональных функций в некоторых известных случаях сводится к интегрированию рациональных дробей.

I. Интеграл вида dx, где R – рациональная функция, , ,… — рациональные числа, сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где k -общий знаменатель дробей

Пример

=

Найти интегралы.

82. 83.

К интегралам от функций, рационально зависящим от тригонометрических функций, сводятся интегралы:

III. — подстановкой

IV*. — подстановкой

V*. — подстановкой

Примеры.

1.

=

При решении выполнили преобразования: при

2.

=

В решении использовано: при .

-1=

Пусть u = 0; тогда -1 = - B, B = 1.

u = -1; тогда - 1 = 2D, D = -1/2.

u = -1; тогда -1 = -2С, С = 1/2.

Приравняем коэффициенты при отсюда А = 0.

= —

= -

Найти интегралы:

84. 85*.

VI. Интегралы вида можно вычислить подстановкой При этом

Пример.

Найти интегралы:

86. . 87. .

Замечание. Не всякая элементарная функция имеет интеграл, выраженный через элементарные функции.

Примеры

, , , , , , , , , .

Вышеприведенные интегралы не выражаются суммой конечного числа элементарных функций и называются «не берущимися» интегралами.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Какие замены переменных можно сделать для нахождения следующих интегралов:

а) б)* в)* г) ?

2. Можно ли вычислить в элементарных функциях следующие интегралы:

а) б)