Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница

Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [ a, b ],то, очевидно, она интегрируема также на произвольном отрезке [ a, х ], вложенном в [ a, b ].

Положим по определению

Ф(х) = = , (9)

где [ a, b ], а функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхнимпределом.

Свойства функции Ф(х) (интеграла с переменным верхним пределом):

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке[ a, b ], то функция Ф(х) так же непрерывна на [ a, b ].

Теорема 2. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке[ a, b ]. Тогда в каждой точке х отрезка[ a, b ] производная функции Ф(х) по переменному пределу равна подынтегральной функции f(x), т.е.

Ф^’(х) = () ^’ = f(x).

Следствие. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке[ a, b ], то для этой функции существует первообразная на отрезке[ a, b ].