Формы задания функции

Функция называется явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной, например, функция .

Функция аргумента называется неявной, если она задана уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной. Например, .

Обратная функция. Пусть между переменными и , заданными уравнением , существует взаимно-однозначное соответствие. Рассмотрим для примера функцию , выразим в этом уравнении переменную через : . Это уравнение, как и , описывает одну совокупность точек на координатной плоскости. Связь между переменными одна и та же, различия лишь в форме записи. Эту функцию от аргумента называют обратной по отношению к исходной. В уравнении задаем значение переменной , вычисляем значение переменной . Обозначим независимую переменную через , зависимую через и перепишем уравнение в виде . Под обратной функцией будем подразумевать именно такую функцию. В общем виде, имея , можем выразить через , введя специальное обозначение , т.е. . Это другая форма записи исходной функциональной зависимости. Поменяем переменные: . Перед нами обратная функция, ее обозначают также в виде . Для любой строго монотонной функции существует обратная функция. Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Сложная функция. Пусть функция есть функция от переменной , определенной на множестве с областью значений , а переменная является функцией от переменной , определенной на множестве с областью значений . Тогда заданная на множестве функция называется сложной функцией аргумента . Например, - сложная функция.

Основные свойства функций:

1) Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любых значений из области определения и нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида.

Пример. а) Функция - четная (рис. 2.2 а)), т.к ;

б) Функция - нечетная (рис. 2.2 б)), т.к. ;

в) Функция - общего вида (рис. 2.2 в)), т.к. .

Рис. 2.2

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2) Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

Пример. 1) Функция - на интервале монотонно возрастает (рис. 2.3 а)).

2) Функция - на интервале монотонно убывает (рис. 2.3 б)).

Рис. 2.3

3) Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число , что для любого . В противном случает функция называется неограниченной. Например, - ограничена на всей числовой оси, т.к. для любого .