,
устойчива, если при a0 >0 положительны все определители ∆1, ∆2,...∆ п вида
Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива. Если главный определитель ∆ п =0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.
Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для n =1;2;3;4. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.
1. Для уравнения первого порядка (n =1)
условие устойчивости: а0 >0 и ∆ 1 = а1 >0, т.е. для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля.
2. Для уравнения второго порядка (n =2)
условие устойчивости:
Т.о., и для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.
3. Для уравнения третьего порядка (n =3)
условие устойчивости:
При n =3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля и произведение средних коэффициентов уравнения (а1, а2) было больше произведения крайних (а0, а3).
|
|
4. Для уравнения четвертого порядка (n =4)
кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия
.
При n =4 система будет устойчива при всех коэффициентах больших нуля и при
.
Т.о., для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель
∆ п-1 были положительными.
Критерий Гурвица удобно использовать при n <5. При n >5 критерий Гурвица становится громоздким и применяют критерий Рауса.