Глобальная интерполяция

При глобальной интерполяции ищется единый полином для всего интервала. Если среди узлов { x_i,y_i } нет совпадающих, то такой полином будет единственным, и его степень не будет превышать n.

Запишем систему уравнений для определения коэффициентов полинома

Определим матрицу коэффициентов системы уравнений

Решим систему уравнений матричным методом

Определим интерполяционный полином

Представим результаты на графике

Вычислим значения интерполяционного полинома в заданных точках и сравним их с точными значениями

Коэффициенты интерполяционного полинома следующие:

Внимание! Из-за накопления вычислительной погрешности (ошибок округления) при большом числе узлов (n>10) возможно резкое ухудшение результатов интерполяции. Кроме того, для целого ряда функций глобальная интерполяция полиномом вообще не дает удовлетворительного результата. Рассмотрим в качестве примера две таких функции. Для этих функций точность интерполяции с ростом числа узлов не увеличивается, а уменьшается. Первым примером является функция .

Построим для нее интерполяционный полином на интервале [–1;1], используя 9 точек.

Представим результаты на графике.

Второй пример – функция .

Найдем интерполяционный полином, используя заданные выше точки.

Убедитесь самостоятельно, что при увеличении числа узлов интерполяции, результаты интерполирования вблизи концов интервала ухудшаются.