Численное дифференцирование

Цель работы. Изучение методов численного дифференцирования функций одной переменной.

Задание. 1. Bычислить значение производной в произвольной точке x=x0 аналитически и численно тремя методами для пяти значений приращения аргумента x=1; 0.2; 0.1; 0.01; 0.001. Результаты расчета вывести на экран и распечатать в виде таблицы (табл.3)

Таблица 3

x	y(x)	y'(x)

0.2
0.1
0.01
0.001

2. Построить графики функций .

Варианты функций. Варианты функций приведены в табл.4.

Таблица 4

Вар.	Вид функции	Вар.	Вид функции
	x(t)=Ae sin(t+b)		y=ctg (ax)
	x(t)=Ae cos(t+b)		y(x)=(e -e )
	y(x)=ln		x(t)=t
	У(t)=cos		y(x)=(ax)
	Y (t)=sin (at+b)		y(x)=arctg
	s()=		S(t)=
	q(t)=(a-bt )		y(x)=ctg (arcsin ln )
	y(x)=x cos(ax)		R()=arccos (a+b )
	y(x)=		r()=c
	x(t)=		y(x)=ln(tg (ax+b))
	R()=		v(t)=log (t +b )
	S()=Вcоs (a+b)		S()=Asin (a+b)
	y=tg ()		x(t)=lg(at +b)

Примечание. Значение параметров a,b,c,d,m,n,A,B выбрать самостоятельно.

Математическое описание. Производная функции определяется как предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении к нулю приращения независимой переменной

При численном определении производных заменим отношение бесконечно малых приращений функций и аргумента () отношеним конечных разностей (). Очевидно, что чем меньше будет приращение аргумента, тем точнее численное значение производной. Приращение аргумента будем задавать тремя способами, откладывая x вправо, влево и в обе стороны от исследуемой точки. Соответственно получим три метода численного дифференцирования:

метод 1 ;

метод 2 ;

метод 3 .

Суть указанных методов проиллюстрированa на рис.1. Численное значение тангенса угла, образованного касательной к графику y(x) и осью абсцисс, показывает точное значение производной (геометрический смысл производной). Тангенсы углов , , соответствуют численным значениям производных, определенных методами 1,2,3 соответственно (подумайте почему?).