2015-02-18
633
1. Понятие математического ожидания. Закон распределения полностью задает дискретную случайную величину. Однако часто встречаются случаи, когда закон распределения случайной величины неизвестен. В таких случаях случайную величину изучают по ее числовым характеристикам. Одной из таких характеристик является математическое ожидание.
Пусть некоторая дискретная случайная величина X с конечным числом своих значений задана законом распределения:
| xi | х 1 | х 2 | …. | х n |
| рi | p 1 | p 2 | …. | p n |
Определение. Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины X называют сумму произведений всех возможных значений величины X на соответствующие вероятности:
М(Х) = х 1 р 1 +х2р2 +... +хn р n. (9.1)
Пример 9.3. Используя условие примера 9.2, найдем математическое ожидание выигрыша X в примере из подразд. 9.1, п. 2.
Решение. Из полученной в примере 9.2 таблицы имеем М(Х) = 0× 0,9889 + 100×0,01 + 10000×0,001 + 100 000×0,0001 =1 + 10 + 10 = 21 р.
Очевидно, М(Х) = 21 р. есть справедливая цена одного лотерейного билета.
Теорема 9. 1. Математическое ожидание дискретной случайной величины X приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений (при достаточно большом числе испытаний).
Доказательство. Предположим, что произведено п испытаний, в которых дискретная случайная величина X приняла значения х 1 ,х2,..., х kсоответственно m 1 ,m2,..., m kраз, так что m 1 +m2+...+ m k = п. Тогда среднее арифметическое всех значений, принятых величиной X, выразится равенством
Или 
.
Так как коэффициент 
является относительной частотой события «величина X приняла значение хi (i = 1, 2,..., k), то х ср = х 1 р *1 +х2р * 2 +... +хn р * n.
Из статистического определения вероятности следует, что при достаточно большом числе испытаний р * i»рi (i = 1,2,..., k). Поэтому
х ср = х 1 р 1 +х2р2 +... +хn р n.
или х ср = М(Х).
Примечание. В связи с только что установленной теоремой математическое ожидание случайной величины называют также ее средним значением, или ожидаемым значением.
