2015-02-18
1535
Теорема 8.5. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из п попарно несовместимых событий В 1, В2,..., Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
(8.8)
(формула полной вероятности).
Доказательство. Событие А может наступить лишь при условии наступления одного из событий В 1, В2,. ..., Вn, т.е. А= В 1 А + В2 A +… + Вn А, причем ввиду несовместимости событий В 1, В2,. ..., Вn, события В 1 А, В2A,…, ВnА, также несовместимы. Поэтому на основании теорем сложения и умножения вероятностей имеем
Пример 8.29. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 20 задач по дифференциальному исчислению, 30 по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первую же доставшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он знает как решить 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?
Решение. Вероятность получить задачу по дифференциальному исчислению (событие В 1 ) равна Р(В 1 ) = =0,4; по интегральному исчислению (событие В2) — Р(В2) = = 0,6. Если событие А означает, что задача решена, то 
=0,9, 
= 0,5. Теперь по формуле (8.8) имеем Р(А) = =0,4×0,9 + 0,6×0,5 = 0,36 + 0,3 = 0,66.
Пример 8.30. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находятся две белые мыши и одна серая, во втором — три белые и одна серая, в третьем — две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?
Решение. Обозначим:
В 1 — выбор первого ящика, В2 — выбор второго ящика,
B 3 — выбор третьего ящика, А — извлечение белой мыши.
Так как все ящики одинаковы, то Р(В 1 ) = Р(В2) = Р(В 3)=1/3. Если выбран первый ящик, то = 2/3. Аналогично =3/4, 
=1/2. Наконец, по формуле (8.8) получаем
