Понятие о моментах распределения

Определение 1. Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание случайной величины X ^k, где k — натуральное число:

n_k= M (X ^k)

Следовательно, если X имеет распределение

то М(Х) = х^k ₁ р ₁ +х^k₂р₂ +... +х^k_n р _n..

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины X можно выразить через начальные моменты порядков 1 и 2

M (X) =n₁ (9.2)

D (X) = М(Х²)- -М ² (Х)= n₂-n₁².

Определение 2. Центральным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины [Х- М(Х)] ^k:

m_k= [(Х- М(Х)) ^k ].

Из определения центрального момента порядка k, теоремы 9.2 и определения дисперсии следует, что

m₁= [(Х- М(Х))]=0,

m₂= [(Х- М(Х)) ² ]=D(X). (9.3)

Сравнивая соотношения (9.2) и (9.3), получаем

m₂= n₂-n₁²

Пример 9.8. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

Найдем начальные моменты первого, второго порядков и центральный момент второго порядка. Решение. Имеем:

n₁ =М(Х) = 1×0,4 + 3×0,6 = 2,2;

n ₂ = M (X ²) = 1×0,4 + 9×0,6 = 5,8;

m₂=5,8-2,2² =5,8-4,84 = 0,96.