Расчет сложного параллельного соединения

Сложные соединения. Сложными называются такие диагональные соединения, диагонали которых аэродинамически связаны между собой. Диагоналями будем называть внутренние ветви, связывающие между собой внешние (оконтуривающие) ветви соединения. Так, на рис. 13.4. внешними являются ветви 1 – 2 – 3 – 4 и 1 – 5 – 6 – 4, а диагоналями – 2 – 7 – 8 – 6, 2 – 7 – 5, 5 – 7 – 8 – 3, 3 – 8 – 6.

Рисунок 13.4 – Схема сложного соединения

Движение воздуха в сложных соединениях подчиняется тем же основным законам, что и в простых соединениях. Однако, точный аналитический расчёт сложных соединений невозможен. Для их расчёта применяют различные приближенные методы, из которых наиболее распространёнными являются метод последовательных приближений (итерации) и метод линеаризации. Имеются также методы, основанные на эквивалентном преобразовании сложных соединений в простые.

Метод последовательных приближений (итераций). Может применяться для расчёта вентиляционных сетей с числом ветвей до 1000.

При методе итераций задаются общий расход в соединении Q₀ и сопротивления ветвей R _i; требуется определить расходы в ветвях Q _i.

Сущность метода состоит в следующем. Первоначально произвольно принимают распределение воздуха в сети по величине и направлению. Затем для каждого независимого контура определяют сумму депрессий его ветвей (см. лекцию 12, уравнения 12.5 или 12.6). Ввиду произвольности принятого распределения воздуха, эти суммы в общем случае будут отличны от нуля на величину Dh. Невязка Dhбудет тем больше, чем больше отличается принятое распределение расходов от истинного. Поэтому по величине Dh можно определить невязку расходов DQдля каждого контура. Суммируя первоначально принятые расходы в ветвях с полученной невязкой DQ, определяют первое приближение для расходов. Затем снова определяют Dh и DQ и аналогично определяют второе приближение для Q _i, и так далее до тех пор, пока отличие между n-м и (n+1)-м приближением для Q _i не будет достаточно малым.

Очевидно, невязка депрессии в контуре будет:

, (13.17)

где l - число ветвей в контуре;

i - номер ветви.

Чтобы определить невязку расхода DQ по невязке депрессии Dh, надо знать величину невязки депрессии, соответствующую изменению расхода на единицу, т.е. производную . Из уравнения (13.17):

. (13.18)

Очевидно, что общее изменение расхода DQ, соответствующее полной невязке депрессии Dh, будет или, с учетом уравнений (13.17) и (13.18):

. (13.19)

Выражение (13.19) справедливо для контура без источников энергии. Если в контуре имеются источники энергии (например, вентиляторы) с характеристиками h_и=j(Q), то выражение (13.19) обобщается:

(13.20)

В уравнении (13.20) sig n (j_i) =+1, если направление действия источника тяги совпадает с направлением движения воздуха в ветви; sig n (j_i) =-1, если их направления противоположны.

Для ускорения сходимости итераций распределение воздуха в сети следует задавать так, чтобы оно было возможно ближе к истинному распределению.

Новый расход воздуха в ветвях контура определяется суммированием ранее вычисленного (или заданного) расхода Q _{i( n )} c невязкой DQ_(n+1), принимаемой одинаковой для всех ветвей контура (n- порядок приближения):

Q_i(n+1)=Q_i(n) ± DQ_(n+1). (13.21)

Если Dh<0, это означает, что сумма отрицательных депрессий в контуре больше, чем положительных. Для их уравнивания надо уменьшить на DQ расходы в ветвях с отрицательной депрессией и увеличить на DQрасходы в ветвях с положительной депрессией. При D h>0 поступают наоборот. Если данная ветвь входит в два контура, то ее результирующая невязка по расходу равна алгебраической сумме невязок расходов первого и второго контуров.

Метод линеаризации заключается в приближенной замене квадратных уравнений линейными.

Сущность метода состоит в том, что система линейных и нелинейных уравнений, определяющая воздухораспределение в сети и записанная для всех ее узлов и контуров:

(13.22)

,

где n, m- соотвественно число ветвей и источников тяги в контуре;

i- номер ветви;

j -номер источника тяги, заменяется системой линейных уравне-

ний.

Замена производится обычно по методу Ньютона, согласно которому система, эквивалентная (13.22) имеет вид:

(13.23)

,

где DQ _i – искомое приращение для определения точного значения

расхода;

Q _{i (0)} – начальное приближенное значение расхода воздуха i -й вет-

ви;

– производная по Q от функции h _и (Q), вычисленная

для Q=Q _{i (0)};

D h₍₀₎ – невязка депрессии в контуре при Q = Q _{i (0)}.

Система (13.23) получается, если исходную систему (13.22) записать вначале для Q _i= Q _{i (0)}, затем для Q _i, после чего из уравнений для Q _i вычесть соответствующие уравнения для Q _{i (0)}, отбросив при этом члены второго порядка малости, содержащие D Q _i²= (Q _i- Q _{i (0)})².

Недостатком метода линеаризации является невозможность использования его при ручном счете для сетей со значительным числом ячеек ввиду трудности решения системы многих уравнений.

Квадратные уравнения контуров h = R·Q ² можно линеаризовать уравнениями h=a·Q+b. Ошибка аппроксимации f связана с возможными пределами изменения депрессии ветви (h₁ £ h £ h₂ ) соотношением:

Литература

1. Пигида Г.Л., Будзило Е.А., Горбунов Н.И. Аэродинамические расчеты по рудничной аэрологии в примерах и задачах.- К.:УМКВО, 1992.- 400 с.

2. Бурчаков А.С., Мустель П.И., Ушаков К.З. Рудничная аэрология.- М.:Недра, 1971.- 376 с.

3. Абрамов Ф.А., Бойко Ф.А., Гращенков Н.Ф. и др. Справочник по рудничной вентиляции.- М.:Недра, 1977.- 328 с.