Обратная матрица

Пусть – квадратная матрица -го порядка, а – единичная матрица того же порядка.

Матрица называется правой обратной по отношению к матрице , если . Если же , то называется левой обратной к матрице . Ясно, что является квадратной матрицей порядка .

Теорема 4.1. Если у квадратной матрицы существуют как левая, так и правая обратные матрицы, то они совпадают между собой.

Доказательство. Пусть матрицы и такие, что

и .

Тогда . ■

В силу данной теоремы вводится следующее (основное)

Определение 4.1. Матрица называется обратной по отношению к матрице , если

. (4.1)

В силу равенств (4.1) матрица является обратной к матрице , то есть и являются взаимно обратными матрицами.

Обратная к матрица обозначается символом . Таким образом, .

Если определитель матрицы равен нулю, то такую матрицу принято называть вырожденной, в противном случае – невырожденной.

Пусть матрица является невырожденной, то есть . Рассмотрим матрицу, составленную из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы :

.

При транспонировании её получается матрица , называемая присоединенной к матрице :

.

Теорема 4.2. Для того чтобы для матрицы существовала обратная матрица , необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной и при этом

, (4.2)

где .

Доказательство необходимости. Если существует обратная матрица , то . Отсюда, в силу того, что определитель произведения двух матриц равен произведению определителей сомножителей (см., например, [1], гл. 3, § 2, теорему 3), имеем: . Но это означает, что .

Доказательство достаточности. Перемножая матрицы и , в силу теорем 3.1 и 3.2 получаем

или .

Отсюда следует, что матрица является обратной по отношению к матрице , то есть имеет место формула (4.2). ■

Пример 1. Дана матрица

.

Выяснить, существует ли обратная матрица .

Решение. Вычислим определитель матрицы . Прибавив к первой строке определителя матрицы его третью строку, получим определитель

,

у которого первая и четвертая строки совпадают. А это значит, что определитель равен нулю.

Итак, матрица вырожденная, и, следовательно, обратная матрица не существует.

Пример 2. Для матрицы

найти обратную матрицу.

Решение. Вычислив определитель данной матрицы

,

можем утверждать, что обратная матрица для неё существует.

Найдём для каждого элемента матрицы его алгебраическое дополнение :

;	;
;	.

По формуле (4.2) найдём обратную матрицу

.

Проверка:

.

Пример 3. Найти матрицу, обратную к матрице

.

Решение. Вычислим определитель матрицы

.

Прибавив к элементам второго столбца соответствующие элементы первого столбца, получим

.

Разложим определитель по элементам второй строки:

.

Итак, . То есть матрица является невырожденной, а следовательно, по теореме 4.2 существует обратная к ней матрица .

Найдем для каждого элемента матрицы его алгебраическое дополнение:

,	,	,
,	,	,
,	,	.

Составим присоединённую матрицу

,

и по формуле (4.2) найдём обратную матрицу

.

Проверка:

.

Пример 4. Дана матрица

.

Определить, существует ли обратная матрица , и если существует, то найти её.

Решение. Определитель матрицы

.

Следовательно, данная матрица невырожденная, и существует. Согласно формуле (4.2),

.

Найдём алгебраические дополнения элементов данной матрицы:

,	,	,
,	,	,
,	,	.

Тогда

.

Проверка:

.

Пример 5. Для матрицы

найти обратную матрицу.

Решение. Рассмотрим матричное уравнение

, (4.3)

где

, , .

Умножив обе части уравнения (4.3) на матрицу слева, получим

. (4.4)

Выражение (4.4) есть решение уравнения (4.3), которое в скалярной форме имеет вид:

(4.5)

Решая систему (4.5), получаем

или, что то же самое,

. (4.6)

Выражение (4.6) есть (4.4). Следовательно,

.

Проверка:

.

Пример 6. Решить матричное уравнение

. (4.7)

Решение. Пусть

, .

Тогда исходное уравнение запишется в виде

. (4.8)

Умножая обе части уравнения (4.8) слева на матрицу , получаем

. (4.9)

Вычислим обратную матрицу , для чего найдем определитель и алгебраические дополнения элементов матрицы :

, , , , .

Итак,

.

Проверим верность полученного результата:

.

Таким образом, обратная матрица вычислена верно.

Подставляя в выражение (4.9), получаем

.

Проверка:

.

Получили тождественное равенство. Следовательно, уравнение (4.7) решено верно: .

ЗАДАЧИ

1.10. Найти обратные матрицы для следующих матриц:

1) ;	4) ;	7) ;
2) ;	5) ;	8) ;
3) ;	6) ;	9) .

1.11. Вычислить:

, , , , , , , , , , , если:

; .