2015-03-22
367
1. Методы Эйлера численного решения дифференциальных уравнений первого и второго порядков.
Метод численного решения дифференциального уравнения первого порядка
(1)
с начальным условием 
основан на разложении решения в ряд Тейлора в 
-окрестности точки 
:
При отбрасывании всех членов ряда, содержащих производные второго и высших порядков получим: 
, где 
-правая часть уравнения (1).
Пользуясь значением 
из разложения 
в - окрестности точки 
получим
(2)
Аналогично продолжая для следующей точки 
, получим
(3)
Если дано уравнение второго порядка
(4)
с начальными условиями и 
, то как такое уравне- ние можно свести к системе двух уравнений первого порядка
, (5)
причем и 
.
Тогда приближенные значения функций 
и 
в точке можно высислить по формулам
, (6)
где 
- правая часть уравнения (4).
При достаточно малой величине шага метод Эйлера дает решение с большой точностью, т.к. погрешность решения близка к 
.
2. Методы Рунге-Кутта численного решения дифференциальных уравнений первого и второго порядков.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием .
Последовательные значения 
искомой функции определяются по формуле 
где 
,
- коэффициенты, которые вычисляются по формулам
где - шаг интегрирования;
- правая часть дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной.
Если дано уравнение второго порядка 
с начальными условиями и , то как такое уравне- ние можно свести к системе двух уравнений первого порядка
,
причем и .
Тогда приближенные значения функций и можно вычис- лить по формулам
,
где 
- коэффициенты вычисляемые по формулам
,
где - шаг интегрирования;
- правая часть дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной.
Метод Рунге-Кутта применим также для приближенного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, применяя формулы для каждого уравнения в отдельности. При этом погрешность интегрирования - есть величина порядка 
.
