Введение. Настоящая программа философской части кандидатского экзамена по курсу «История и философия науки» предназначена для аспирантов и со­искателей ученых степеней

Настоящая программа философской части кандидатского экзамена по курсу «История и философия науки» предназначена для аспирантов и со­искателей ученых степеней всех научных специальностей, относящихся к блоку математических наук. Программа ориентирована на анализ основ­ных мировоззренческих и методологических проблем, возникающих в на­уке на современном этапе ее развития, и получение представления о тен­денциях исторического развития данной отрасли науки.

Программа разработана Институтом философии РАН при участии ведущих специалистов из МГУ им. М.В. Ломоносова, СПбГУ, ИИЕиТ и ряда других университетов. Программа одобрена экспертным советом по философии, социологии и культурологии Высшей аттестационной комиссии.

1.1. Образ математики как науки: философский аспект.

Проблемы, предмет, метод и функции философии и методологии математики

Математика и естествознание. Математика как язык науки. Математи­ка как система моделей. Математика и техника. Различие взглядов на ма­тематику философов и ученых (И. Кант, О. Конт, А. Пуанкаре, А. Эйн­штейн, Н.Н. Лузин).

Математика как феномен человеческой культуры. Математика и фи­лософия. Математика и религия. Математика и искусство.

Взгляды на предмет математики. Синтаксический, семантический и прагматический аспекты в истолковании предмета математики. Особен­ности образования и функционирования математических абстракций. Отношение математики к действительности. Абстракции и идеальные объекты в математике.

Нормы и идеалы математической деятельности. Специфика методов математики. Доказательство — фундаментальная характеристика мате­матического познания. Понятие аксиоматического построения теории. Основные типы аксиоматик (содержательная, полуформальная и фор­мальная). Логика как метод математики и как математическая теория. Современные представления о соотношении индукции и дедукции в ма­тематике. Аналогия как общий метод развития математической теории. Обобщение и абстрагирование как методы развития математической те­ории. Место интуиции и воображения в математике. Современные пред­ставления о психологии и логике математического открытия. Мыслен­ный эксперимент в математике. Доказательство с помощью компьютера.

Структура математического знания. Основные математические дис­циплины. Историческое развитие логической структуры математики. Аксиоматический метод и классификация математического знания. Групповая классификация геометрических теорий (программа Ф. Клей­на). Структурное и функциональное единство математики.

Философия математики, ее возникновение и этапы эволюции. Ос­новные проблемы философии и методологии математики: установление сущности математики, ее предмета и методов, места математики в науке и культуре. Фундаменталистская и нефундаменталистская (социокуль-турная) философия математики. Философия математики как раздел философии и как общая методология математики.

Разделение истории математики и философии математики: соотно­шение фактической и логической истории, классификации фактов и их анализа.

Методология математики, ее возникновение и эволюция. Методы методологии математики (рефлексивный, проективный, нормативный). Внутренние и внешние функции методологии математики, ее прогнос­тические ориентации.

1.2. Философские проблемы возникновения

и исторической эволюции математики в культурном контексте

Причины и истоки возникновения математических знаний. Практи­ческие, религиозные основания первоначальных математических пред­ставлений.

Математика в догреческих цивилизациях. Догматическое (рецептур­ное) изложение результатов в математических текстах Древнего Восто­ка. Проблема влияния египетской и вавилонской математики на матема­тику Древней Греции.

Рождение математики как теоретической науки в Древней Греции. Пифагорейцы. Открытие несоизмеримости. Геометрическая алгебра и ее обоснование. Апории Зенона. Атомизм Демокрита и инфинитезимальные процедуры в Античности. Место математики в философии Платона.

Математика эпохи эллинизма. Синтез греческих и древневосточных социокультурных и научных традиций. Аксиоматическое построение ма­тематики в -«Началах» Евклида и его философские предпосылки. Пробле­ма актуальной бесконечности в античной математике. Место математики в философской концепции Аристотеля. Ценностные иерархии объектов, средств решения задач и классификация кривых в античной геометрии. «Арифметика» Диофанта и элементы возврата к вавилонской традиции.

Математика в древней и средневековой Индии. Отрицательные и ир­рациональные числа. Ритуальная геометрия трактата «Шулва-Сутра». Озарение как способ обоснования математических результатов. Мате­матика и астрономия.

Математика в древнем и средневековом Китае. Средневековая ма­тематика Арабского Востока. «Арабские» цифры как источник новых математических знаний. Выделение алгебры в самостоятельную науку. Философия геометрии в связи с попытками доказать V постулат Евк­лида. Математика и астрономия. Математика в средневековой Европе. Практически ориентированные геометрические и тригонометрические сведения у Л. Пизанского (Фибоначчи). Развитие античных натурфи­лософских идей и математика. Схоластические теории изменения ве­личин как предвосхищение инфинитсзимальных методов Нового времени. Дискуссии по проблемам бесконечного и непрерывного в мате­матике.

Математика в эпоху Возрождения. Проблема решения алгебраичес­ких 3-й и 4-й степеней как основание возникновения новых представле­ний о математических величинах. Алгебра Ф. Виета. Проблема перспек­тивы в живописи и математика. «Философская теория» мнимых и комплексных чисел в «Алгебре» Р. Бомбелли.

Математика и научно-техническая революция начала Нового вре­мени. Проблема бесконечности. Философский контекст аналитической геометрии. Достижения в области алгебры и их естествен но-научное значение. Первые теоретике-вероятностные представления. «Вероят­ностная» гносеология в трудах философов Нового времени и проблема создания вероятностной логики (Лейбниц). Философский контекст от­крытия И. Ньютоном и Г. Лейбницем дифференциального и интеграль­ного исчисления. Проблема логического обоснования алгоритмов диф­ференциального и интегрального исчисления. Критика Беркли и Ньютвентвейта. Нестандартный анализ А. Робинсона (1961) и новый взгляд на историю возникновения и первоначального развития анали­за бесконечно малых.

Развитие математического анализа в XVIII в. Проблема оснований анализа. Философские идеи Б. Больцано в области теории функций. К. Вейерштрасс и арифметизация анализа. Теория и философия дейст­вительного числа.

Эволюция геометрии в XIX в. и ее философское значение — откры­тие гиперболической геометрии и ее обоснования, интерпретации неев­клидовой геометрии. «Эрлангенская программа» Ф. Клейна как новый взгляд на структуру геометрии. П.-С. Лаплас, его философские взгляды на сущность вероятности и становление теории вероятностей как точ­ной науки.

Теория множеств как основание математики: Г. Кантор и создание «наивной» теории множеств. Открытие парадоксов теории множеств и их философское осмысление.

Математическая логика как инструмент обоснования математики и как основание математики. Взгляды Г. Фреге на природу математичес­кого мышления. Программа логической унификации математики.

«Основания геометрии» Д. Гильберта и становление геометрии как формальной аксиоматической дисциплины.

Философские проблемы теории вероятностей в конце XIX — середи­не XX в.

1.3. Закономерности развития математики

Внутренние и внешние факторы развития математической теории. Апология «чистой» математики (Г. Харди). Б. Гессен о социальных кор­нях механики Ньютона. Национальные математические школы и осо­бенности национальных математических традиций (Л. Бибербах). Ма­тематика как совокупность «культурных элементов» (Р. Уайлдер). Концепция Ф. Китчера: эволюция математики как переход от исходной (примитивной) математической практики к последующим. Эстафеты в математике (М. Розов). Влияние потребностей и запросов других наук, техники на развитие математики.

Концепция научных революций Т. Куна и проблемы ее применения к анализу развития математики. Характеристики преемственности ма­тематического знания. Д. Даубен, Е. Коппельман, М. Кроу, Р. Уайлдер о специфике революций в математике. Математические парадигмы и их отличие от естественно-научных парадигм. Классификация революций в математике.

Фальсификационизм К. Поппера и концепция научных исследователь­ских программ И. Лакатоса. Возможности применения концепции науч­ных исследовательских программ к изучению развития математики. Про­блема существования потенциальных фальсификаторов в математике.

1.4. Философские концепции математики

Пифагореизм как первая философия математики. Число как причи­на вещей, как основа вещей и как способ их понимания. Числовой мис­тицизм. Влияние на пифагорейскую идеологию открытия несоизмери­мых величин и парадоксов Зенона. Пифагореизм в сочинениях Платона. Критика пифагореизма Аристотелем.

Эмпирическая концепция математических понятий у Аристотеля. Пер­вичность вещей перед числами. Объяснение строгости математического мышления. Обоснование эмпирического взгляда на математику у Бекона и Ньютона. Математический эмпиризм XVII-XIX вв. Эмпиризм в фило­софии математики XIX столетия (Дж.Ст. Милль, Г. Гельмгольц, М. Паш). Современные концепции эмпиризма: натурализм Н. Гудмена, эмпирицизм И. Лакатоса, натурализм Ф. Китчера. Недостатки эмпирического обосно­вания математики.

Философские предпосылки априоризма. Установки априоризма. Умозрительный характер математических истин. Априоризм Лейбница.

Обоснование аналитичности математики у Лейбница. Понимание мате­матики как априорного синтетического знания у Канта. Неевклидовы геометрии и философия математики Канта. Гуссерлевский вариант ап­риоризма. Проблемы феноменологического обоснования математики.

Истоки формалистского понимания математического существования. Идеи Г. Кантора о соотношении имманентной и транзиептной истины. Формалистское понимание существования (А. Пуанкаре и Д. Гильберт).

Современные концепции математики. Эмпирическая философия мате­матики. Критика евклидианской установки и идеи абсолютного обоснова­ния математики в работах И. Лакатоса. Априористские идеи в современ­ной философии и методологии математики. Программа Н. Бурбаки и концепция математического структурализма. Математический платонизм. Реализм как тезис об онтологической основе математики. Радикальный реализм К. Геделя. Реализм и проблема неиндуктивистского обоснования теории множеств. Физикализм. Социологические и социокультурные кон­цепции природы математики.

1.5. Философия и проблема обоснования математики

Проблема обоснования математического знания на различных стади­ях его развития. Геометрическое обоснование алгебры в Античности. Проблема обоснования математического анализа в XVIII в. Поиски еди­ной основы математики в рамках аксиоматического метода. Открытие па­радоксов и становление современной проблемы обоснования математики.

Логицистская установка Г. Фреге. Критика психологизма и кантовско-го интуиционизма в понимании числа. Трудности концепции Г. Фреге. Представление математики на основе теории типов и логики отношений (Б. Рассел и А. Уайтхед). Результаты К. Геделя и А. Тарского. Методологи­ческие изъяны и основные достижения логицистского анализа математики.

Идеи Л. Брауэра по логицистскому обоснованию математики. Праин-туиция как исходная база математического мышления. Проблема сущест­вования. Учение Л. Брауэра о конструкции как о единственно законном способе оправдания математического существования. Брауэровская кри­тика закона исключенного третьего. Недостаточность интуиционизма как программы обоснования математики. Следствия интуиционизма для со­временной математики и методологии математики.

Гильбертовская схема абсолютного обоснования математических те­орий на основе финитной и содержательной метатеории. Понятие фи-питизма. Выход за пределы финитизма в теоретико-множественных и семантических доказательствах непротиворечивости арифметики (Г. Генцен, П. Новиков, Н. Нагорный). Теоремы К. Геделя и программа Д. Гильберта: современные дискуссии.

1.6. Философско-методологические и исторические проблемы

математизации науки

Прикладная математика. Логика и особенности приложений матема­тики. Математика как язык науки. Уровни математизации знания: коли­чественная обработка экспериментальных данных, построение матема­тических моделей индивидуальных явлений и процессов, создание математизированных теорий.

Специфика приложения математики в различных областях знания. Новые возможности применения математики, предлагаемые теорией ка­тегорий, теорией катастроф, теорией фракталов и др. Проблема поиска адекватного математического аппарата для создания новых приложений.

Математическая гипотеза как метод развития физического знания. Математическое предвосхищение. «Непостижимая эффективность» ма­тематики в физике: проблема рационального объяснения. Этапы мате­матизации в физике. Неклассическая фаза (теория относительности, квантовая механика). Проблема единственности физической теории, связанная с богатыми возможностями выбора подходящих математиче­ских конструкций. Постклассическая фаза (аксиоматические и конст­руктивные теории поля и др.). Перспективы математизации нефизичес­ких областей естествознания. Границы, трудности и перспективы математизации гуманитарного знания. Вычислительное, концептуаль­ное и метафорическое применения математики. Границы применимости вероятностно-статистических методов в научном познании. «Мораль­ные применения» теории вероятностей — иллюзии и реальность.

Математическое моделирование: предпосылки, этапы построения модели, выбор критериев адекватности, проблема интерпретации. Срав­нительный анализ математического моделирования в различных облас­тях знания. Математическое моделирование в экологии: историко-мето-дологический анализ. Применение математики в финансовой сфере: история, результаты и перспективы. Математические методы и модели и их применение в процессе принятия решений при управлении слож­ными социально-экономическими системами: возможности, перспекти­вы и ограничения. ЭВМ и математическое моделирование. Математиче­ский эксперимент.

Рекомендуемая основная литература

1 Антология философии математики / Отв. ред. и сост. А Г. Барабашев и М.И. Па­нов. М, 2002

2. Беляев ЕЛ., ПерминовВЯ. Философские и методологические проблемы матема­тики М., 1981

3 Бесконечность в математике: философские и методологические аспекты / Под ред А Г. Барабашева. М., 1997.

4. Блехман И.И., Мышкис АЛ., Пановко Н.Г. Прикладная математика: предмет, ло­гика, особенности подходов. Киев, 1976.

5. Закономерности развития современной математики Методологические аспек­ты / Отв. ред. М.И. Панов. М., 1987.

6 Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984.

7 Математика и опыт / Под ред. А.Г. Барабашева. М., 2002.

8. Перминов ВЛ. Философия и основания математики. М., 2002.

9. Пуанкаре А. О науке. М., 1990.

10. Стили в математике. Социокультурная философия математики / Под ред. А.Г. Барабашева. СПб., 1999.

2. Философские проблемы естествознания