Формулалар

Формула дегеніміз – математикада ережелердің әріптері бар теңдіктермен жазылуы. Мұндай жағдайда ережені формуламен жазылған дейміз.

Тік төртбұрыштың периметрі оның ұзындығы мен енінің 2 еселенген қосындысына тең.

Үшбұрыштың периметрі оның барлық қабырғаларының ұзындықтарының қосындысына тең.

Тік төртбұрыштың ауданы оның ұзындығы мен енінің көбейтіндісіне тең.

Тік төртбұрыштың ауданының формуласы: S = a • b

Тік бұрышты параллелепипедтің көлемі оның ұзындығын ені мен биіктігіне көбейткенге тең. Ал формуласы: V = abc

Жолдың формуласы: S = vt

Мұндағы S - жүрген жолдың ұзындығы, v - жылдамдық, t - уақыт.

Заттың құнының формуласы: C = an

Мұндағы C - заттың құны, a - заттың бағасы, n - заттың саны.

Квадраттың периметрінің формуласы: P=4a a- қабырғаның ұзындығы

Квадраттың ауданының формуласы: S=a²

Кубтың көлемінің формуласы: V=a³

Натурал санның бөлгіштері. Натурал санның еселіктері

а саны қалдықсыз бөлінетін натурал санды натурал а санының бөлгіші деп аталады. Қасиеттері: 1. Берілген натурал санның ең үлкен бөлгіші сол санның өзіне тең;

1 саны кез келген натурал санның бөлгіші болады.

Жалпы түрі: a:b = c, a- бөлінгіш, b- бөлгіш, c- бөлінді.

Натурал b санына еселік сан деп сол b санына қалдықсыз бөлінетін натурал санды атайды. Жалпы түрі: a:b=c, мұндағы a – b-ға еселік сан және a = b c.

Көбейтіндінің, қосындының және айырманың бөлінгіштігі

Егер қосылғыштардың әрқайсысы жеке- жеке берілген натурал санға бөлінсе, онда қосынды да сол санға бөлінеді. Яғни, (a + b): c = a:c + b:c. Мысалы:

Қосынды	Бөлгіш	Қосылғыштардың бөлінгіштігі	Қосындының бөлінгіштігі
21+35=56		21:7=3, 35:7=5	56:7=8

Қосылғыштардың берілген натурал санға жеке- жеке қалдықпен бөлінген жағдайда қалдықтардың қосындысы сол санға бөлінсе, онда қосынды да сол санға бөлінеді. Мысалы:

Қосынды	Бөлгіш	Қосылғыштардың қалдықпен бөлінуі	Қалдықтардың қосындысы	Қосындының бөлінгіштігі
17+55		17:8=2(1), 55:8=6(7)		72:8=9

Егер көбейткіштердің біреуі берілген натурал санға бөлінсе, онда көбейтінді де сол натурал санға бөлінеді. Яғни, (a•b):c=(a:c)b немесе (ab):c=a(b:c). Мысалы:


Қосынды	Бөлгіш	Қосылғыштардың бөлінгіштігі	Қосындының бөлінгіштігі
14•24		14 саны 6-ға бөлінбейді. 24:6=4	336:6=56

Егер айырмалардың әрқайсысы жеке- жеке берілген натурал санға бөлінсе, онда айырма да сол санға бөлінеді. Яғни, (a - b):c = a:c - b:c. Мысалы:


Айырма	Бөлгіш	Айырмалардың бөлінгіштігі	Айырманың бөлінгіштігі
121-55=66		121:11=11, 55:11=5	66:11=6

2,5 және 10 сандарына бөлінгіштік белгілері

Жазылуы жұп цифрлармен аяқталатын барлық натурал сандар 2-ге бөлінеді. Егер санның жазылуы тақ цифрлармен аяқталса, онда ол сан 2-ге бөлінбейді. Мысалы, 12: 2 = 6, 15: 2 = 7(1). 2-ге бөлінетін сандар жалпы түрде 2п өрнегімен жазылады, мұндағы n = 1,2,3,...

Жазылуы 0 цифрымен немесе 5цифрымен аяқталатын барлық натурал сандар 5-ке бөлінеді. Егер санның жазылуы кез келген басқа цифрмен аяқталса, онда ол сан 5-ке бөлінбейді. Мысалы, 105: 5 = 21, 80: 5 = 16, 19: 5 = 3(4). 5-ке бөлінетін сандар жалпы түрде 5 п өрнегімен жазылады, мұндағы n = 1,2,3,...

Жазылуы 0 цифрымен аяқталатын барлық натурал сандар 10-ға бөлінеді. Егер санның жазылуы кез келген басқа цифрмен аяқталса, онда ол сан 10-ға бөлінбейді. Мысалы, 260: 10 = 26, 709: 5 = 70(9). 10-ға бөлінетін сандар жалпы түрде 10п өрнегімен жазылады, мұндағы n = 1,2,3,...

9-ға және 3-ке бөлінгіштік белгілері

Берілген санның цифрларының қосындысы 3-ке бөлінсе, онда ол санның өзі де 3-ке бөлінеді, егер санның цифрларының қосындысы 3-ке бөлінбесе, онда ол санның өзі де 3-ке бөлінбейді. 3-ке бөлінетін сандар жалпы түрде 3п өрнегімен жазылады, мұндағы n = 1,2,3,...

Берілген санның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінсе, онда ол санның өзі де 9-ға бөлінеді, егер санның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінбесе, онда ол санның өзі де 9-ға бөлінбейді. 9-ға бөлінетін сандар жалпы түрде 9n өрнегімен жазылады, мұндағы n = 1,2,3,...

Жай сандар, құрама сандар

1-ге және өзіне ғана бөлінетін сандарды жай сандар деп атайды.Мысалы: 2, 3,5,7,11,13,...

Екіден көп бөлгіштері бар болатын сандарды құрама сандар деп атайды. Мысалы, 18 саны – құрама сан, бөлгіштері: 1, 2, 3, 6, 9,18.

Құрама сандарды жай көбейткіштерге жіктеу

Құрама сандарды жай сандардың көбейтіндісі түрінде жазуды оларды жай көбейткіштерге жіктеу деп атайды. Жай көбейткіштер қатары тек қана жай сандардан тұрады. Мысалы, 42 саны- құрама сан, ал жай көбейткіщтерге жіктесек, 42 = 2 • 3 • 7.

Кез келген құрама сан өзі жіктелген жай көбейткіштердің көбейтіндісіне тең болады. 48 = 2⁴ • 3.

Ең кіші ортақ еселік

Берілген натурал сандардың әрқайсысына еселік болатын ең кіші натурал санды ең кіші ортақ еселік (ЕКОЕ) деп атайды және оны жай сандарға жіктеу арқылы табады.

1) Берілген натурал сандар жай көбейткіштерге жіктеледі.

2) Берілген сандардың ең үлкеніндегі жай көбейткіштер жазылады да, ал оның құрамында жоқ, бірақ басқа сандардың құрамында бар жай көбейткіштермен толықтырылады.

3) Шыққан көбейткіштердің көбейтіндісі берілген натурал сандардың ең кіші ортақ еселігі болады. Мысалы, ЕКОЕ(27,45)-ін табу керек. 27=3³, 45=3²• 5, ЕКОЕ (27, 45) = 3³ • 5 = 135, Сонда 135: 27 = 5, 135: 45 = 3.

Егер берілген натурал сандардың үлкені кішілеріне еселік болса, онда үлкен сан осы сандардың ең кіші ортақ еселігі болады. Мысалы, ЕКОЕ (29, 87) = 87.

Егер берілген натурал сандардың, 1 санынан басқа, ортақ жай көбейткіші болмаса, ондай сандар өзара жай сандар деп аталады. Мысалы, ЕКОЕ (28, 45) -ін табайық. 28=4 • 7, 45 = 5 • 9, ЕКОЕ (28, 45) = 28 • 45 = 1260.

Егер берілген сандар өзара жай сандар болса, онда ең кіші ортақ еселік осы сандардың көбейтіндісіне тең.

Ең үлкен ортақ бөлгіш. Өзара жай сандар

Берілген натурал сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші (ЕҮОБ) деп сол сандардың әрқайсысы бөлінетін ең үлкен натурал санды айтады. Мысалы, 18 бен 48 сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін табайық. 18 = 2 • 3 • 3, 48 =2³ • 2 • 3. ЕҮОБ(18, 48) = 2 • 3 = 6. Өзара жай сандардың ортақ бөлгіші біреу ғана, ол – 1 саны.

Егер сандардың ең кішісі үлкендердің бөлгіші болса, онда сол ең кіші сан берілген сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші болады.

Берілген натурал сандардың ең үлкен ортақ бөлгішін табу үшін:

1. Берілген сандарды жай көбейткіштерге жіктейміз;

2. Шыққан жіктеулердегі барлық ортақ жай көбейткіштерді табамыз;

3. Ортақ жай көбейткіштердің көбейтіндісі сол сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші болады.

Шеңбер. Дөңгелек

Жазықтықта барлық нүктелері берілген жүйеден (центрден) бірдей қашықтықтағы нүктелер жиынын – шеңбер дейміз. Шеңбер центрі мен оның бойындағы нүктені қосатын кесінді радиус деп аталады.

Шеңбердің центрі арқылы өтетін және шеңбер бойындағы екі нүктені қосатын кесінді диаметрі деп аталады. Диаметр – екі радиусқа тең болады.

Жазықтықта шеңбердің ішіндегі дөңгелек шеңбердің өзімен қоса дөңгелек деп аталады.

Шеңбердің бойындағы жатқан екі нүктенің арасындағы бөлігі шеңбер доғасы деп аталады.

Үлестер. Жай бөлшектер

Тең бөлшектер үлестер деп аталады. Осы үлестердің санмен өрнектелген жазылуын жай бөлшектер дейміз. Мысалы: т.с.с. Мұндағы «–» бөлшек сызығы дейді. Бөлшек сызығының астындағы санды бөлімі дейді. Бөлшек сандар 2/3– оқылуы «үштен екі», 3/5 – оқылуы «бестен үш».

Жай бөлшектің негізгі қасиеті. Жай бөлшекті қысқарту

Егер бөлшектің алымын да бөлімін де бірдей натурал санға көбейтсек, немесе бөлсек онда оған тең бөлшек алынады. Бұл бөлшектің негізгі қасиеті деп аталады.

Бөлшектің алымын да бөлімін де олардың ортақ бөлгішіне (1-ден өзге) бөлуді бөлшекті қысқарту дейді.

Дұрыс бөлшектер. Бұрыс бөлшектер

Алымы бөлімінен кіші болатын бөлшекті дұрыс бөлшек деп атайды. Мысалы: