Виет теоремасы

Виет теоремасын а = 1 болатын келтірілген квадраттық теңдеулер түбірін табуда қолданамыз. Келтірілген квадраттық теңдеулер түбірінің қосындысы қарсы таңбасымен алынған екінші коэффициентке,ал көбейтіндісі бос мүшеге тең болады:

теңдеуі үшін

Айнымалысы модуль ішіндегі теңдеулер

1) Оң санның модулі өзіне тең.

2) Теріс санның модулі оған қарама–қарсы санға тең. |4|=4; |–4|=4

3) Нөлдің модулі нөлге тең |0| = 0

Модульдің геометриялық мағынасы:

|–4| = 4 болғандықтан 0 нүктесінен –4 нүктесіне дейінгі ара қашықтық, |3| = 3 болғандықтан 0 нүктесінен 3 нүктесіне дейінгі ара қашықтық.

Мысалы:

1) |x| = 5; x = 5; x = –5

2) |x–3| = 1 теңдеуін шешейік.

Шешуі: х–3>0 болса, х–3=1, х=4;ал х–3<0 болса х–3 = –1, х = 2. Жауабы: 2;4

Әрбір функция үшін анықталу аймақтарын, нолдерін немесе үзіліс нүктелерін табу керек. Ол нүктелер берілген теңдеудің жалпы анықталу аймағын бірнеше аймақтарға бөледі. Ары қарай f_i(x) функцияларының осы аймақтардағы таңбаларын ескере отырып теңдеуді шешеміз. Модульдің қасиеттері:

|a²| = a²; |a•b| = |a|•|b|

Рационал теңдеулер

Теңдеудің екі жағы да рационал өрнектер болса, ондай теңдеулері рационал теңдеулер деп атайды. Теңдеудің екі жағы да бүтін рационал өрнектер болса,онда ол бүтін рационал теңдеу,ал теңдеуде бөлшек рационал өрнек бар болса,ол бөлшек–рационал теңдеу деп аталады.

Бөлшек-рационал теңдеу:

Рационал теңдеулерді шешкенде:

1) теңдеуге енген бөлшектердің ортақ бөлімін табу;

2) берілген теңдеудің екі бөлігін де сол ортақ бөлімге көбейтіп,бүтін теңдеу шығарып алу

3) осы шыққан теңдеуді шешу;

4) оның түбірлерін ортақ бөлімді нөлге айналдыратын түбірлерден (бөгде түбірлерден) арылту керек.

Квадрат теңдеуге келтірілетін теңдеулер

ax⁴ + bx² + c = 0 түріндегі теңдеу биквадраттық теңдеу деп аталады,мұндағы х – айнымалы, а, в және с – сандар. Осындай теңдеулерді x² = t жаңа айнымалы енгізіп, квадрат теңдеуге келтіріп шығарамыз. Квадрат теңдеуге келтірілетін теңдеулерді шешу алгоритмі:

1) теңдеудің қандай да бір өрнегін жаңа айнымалымен белгілеу;

2) осы өрнектің орнына жаңа айнымалыны қойып,квадрат теңдеу аламыз

3) квадрат теңдеуді шешеміз;

4) алмастыру әдісін қолданып,бастапқы айнымалының мәнін табамыз;

5) тексеру жүргізіп,берілген теңдеудің түбірлерін табамыз.

Мысалы: x⁴ – 5x² + 4 = 0; x² = t; десек: t² –5t + 4 = 0; t₁=4; t₂ = 1;

табылған мәнді белгілеп, алынған теңдікке қоямыз: x² =1 және x² = 4, бұдан x_1,2 = ± 1; x_3,4 = ± 2

Квадраттық үшмүше. Квадраттық үшмүшені көбейткіштерге жіктеу

ax² + bx + c, a ≠ 0 түріндегі көпмүше квадраттық үшмүше деп атайды.Мұндағы х–айнымалы шама, а,в,с нақты сандар,әрі а–екінші дәрежелі мүшенің коэффициенті,в–бірінші дәрежелі мүшенің коэффициенті,с–бос мүше. Айнымалының квадраттық үшмүшені 0-ге айналдыратын мәні квадраттық үшмүшенің түбірі деп атайды. Квадраттық үшмүшенің түбірі бар болатыны не жоқ болатыны оның дискриминантына байланысты. Егер ax² + bx + c квадраттық үшмүшенің түбірлері бар болса, онда Виет теоремасы бойынша

Квадраттық үшмүшені көбейткіштерге жіктеу тәсілдері:

1. топтау тәсілі, мысалы:x² + 5x + 4 = x² + 4x + x + 4 = x(x + 4) + (x + 4) = (x + 4)(x + 1)

2. Квадраттық үшмүшенің түбірлерін тауып, формуласын қолданып көбейткішке жіктеу.

3. a2 – b2 = (a – b)(a + b) формуласын қолдану

Квадраттық функция

y = ax² + bx + c, a ≠ 0 түріндегі функция – квадраттық функция деп аталады. Мұндағы х – айнымалы шама, а,в,с нақты сандар. y = ax² + bx + c, a ≠ 0 функциясының дербес жағдайы y = ax² функциясы болып табылады. Алдымен y = ax² + bx + c функциясындағы квадрат үшмүшенің толық квадратын бөліп жазу арқылы оны

түрінде жазайық. Осы функцияны зерттеп, графигін салуға тоқталайық.

Квадраттық функция графигін салу алгоритмі:

1) формулалары көмегімен параболаның (m;n) төбесін және х = m симметрия осін анықтау керек.

2) координаталық осьтермен қиылысу нүктелерін анықтау керек.

a) ax² + bx + c теңдеуінің түбірлері бар болса,онда парабола Ох осімен (x₁; 0) және (x₂; 0) нүктелерінде қиылысады,ал егер түбірі жоқ болса,онда қиылыспайды.

ә) Оу осімен (0;с) нүктесінде қиылысады.

y = ax^2 + n; y = a(x – m)^2; y = a(x – m)^2 + n функциялары және олардың графиктері

Функциялар графигі парабола болады және у = ах² функциясының қасиеттеріне ие. a > 1 болғанда у = х²функциясына қарағанда шапшаң, ал а < 1 болғанда баяу өседі. Ол функциялардың графиктерін салу үшін у = ах²функциясының графигін қолданамыз. y = ах² + n функциясының мәндері у = ах² функциясының мәндерінен n-ге өзгешеленеді. Егер n > 0 болса график ордината бойымен n бірлікке жоғары, ал n < 0 болса, n бірлікке төмен жылжып орналасады.

y = a(x – m)² функциясының графигін салу үшін, дербес а = 1 болғандағы y = (x – 2)²; y = (x + 2)² функцияларын қарастырайық. y = (x + 2)² функция графигі у = х²-дай парабола болады, бірақ оның төбесі абсцисса осінің бойымен екі бірлікке солға қарай жылжиды. Осылайша функциясының графигі у= ах² функциясындай, бірақ m < 0 болса m бірлікке солға; ал m > 0 болса, m бірлікке оңға жылжыған парабола болады. y = a(x – m)² + n функциясының графигін салу үшін у = ах² функциясының графигін m,n таңбасына қарай абсцисса мен ордината бойымен жылжып салынады.Мысалы: y = 2(x – 2)² + 3 функциясы графигін салу үшін у = 2х² функция графигін абсцисса бойымен оңға екі бірлік,ординатамен жоғары үш бірлік жылжытып саламыз.

Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеу және оның графигі

Бір айнымалысы бар сызықты теңдеу ах = в түрінде болады. Екі айнымалысы бар сызықты теңдеу ах + ву = с (1) түрінде беріледі,мұндағы х,у - айнымалылар, а,в,с – нақты сандар және а мен в бір мезгілде нөлге тең емес.

Мысалы: 2х + 3у = 8; 0,6х – 1,2у= 3;

Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеуде әр қосылғыштағы айнымалылардың дәреже көрсеткіштерінің қосындысы 1- ге тең болуы керек. (1) теңдеуді қанағаттандыратын кез-келген сандар жұбы екі айнымалысы бар сызықтық теңдеудің шешімі деп аталады. Мыс: х+у=12 теңдеуінің шешімдер жұбы: (1;11), (5;7),,(9;3),(3;9) т.б Бір айнымалыны екіншісі арқылы өрнектеу үшін: 2у – х = 5 теңдеуінде х айнымалысын у айнымалысы арқылы өрнектейік. x = 2у – 5. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеудің ең болмағанда бір айнымалысының коэффициенті нөлге тең болмаса,оның графигі түзу сызық болады.

Екі айнымалысы бар сызықтық емес теңдеулер және оның шешімі

Егер теңдеулер құрамының біреуі сызықтық емес теңдеу болса,онда екі айнымалысы бар теңдеулер жүйесі екі айнымалысы бар сызықтық емес теңдеулер жүйесі деп аталады. Мысалы: жүйедегі бірінші теңдеудің графигі түзу сызық екені белгілі,ал екінші теңдеу графигін білмейміз. Мұндай жүйелерді шешудің негізгі жолы – ауыстыру тәсілі. Шешу алгоритмі:

1)бірінші дәрежелі теңдеуден айнымалының бірін екіншісі арқылы өрнектеп жазу;

2)табылған өрнекті екінші дәрежелі теңдеудегі айнымалының орнына қойып бір айнымалысы бар теңдеу аламыз;

3)шыққан теңдеуді шешкенде айнымалылардың біреуінің мәндері табылады; 4)Осы мәндер арқылы екінші айнымалының мәні табылады.

Егер айнымалылардың біреуінің коэффициенттері қарама-қарсы сандар болса мүшелеп қосу тәсілін қолданамыз.

Бір айнымалысы бар теңсіздіктер

түріндегі теңсіздіктерді - бір айнымалысы бар сызықтық теңсіздіктер деп атайды.Мұндағы а,в –сандар,х – айнымалы,в – бос мүше. Бір айнымалысы бар теңсіздіктің шешімі деп,айныымалының теңсіздікті тура санды теңсіздікке айналдыратын мәнін айтады.

Теңсіздіктерді шешу дегеніміз оның барлық шешімдерін табу не шешімі жоқ екенін дәлелдеу болады.Теңсіздікті шешу үшін:

1)теңсіздіктің анықталу аймағы өзгермейтіндей етіп,оның бір не екі жақ бөлігін түрлендіріп ықшамдау;

2)белгісізі бар мүшелерді теңсіздіктің бір жақ бөлігіне,бос мүшелерді екінші жақ бөлігіне жинақтау керек;

3)ұқсас мүшелерді біріктіру;

4)теңсіздіктің екі жағын белгісіздің коэффициентіне (нөлге тең емес) бөлу; 5)теңсіздіктің шешімдерін тауып,қажет болса,оны сан аралығынада белгілеу керек.

Егер а>0 болса,шешімдері х > болады;

егер а<0 болса, шешімдері х< болады.

Бір айнымалысы бар теңсіздіктер жүйесін шешу

Бір айнымалысы бар теңсіздіктер жүйесінің шешуі деп жүйенің әр теңсіздігін дұрыс теңсіздікке айналдыратын айнымалының мәндері жиынын айтады. Теңсіздіктер жүйесін шешу дегеніміз оның барлық шешімдерін табу не шешімі жоқ екенін дәлелдеу болады. Мысалы: ортақ шешім жүйесінің шешімі болып табылады: х>5

Бөлшек сызықтық теңсіздіктер

Теңсіздіктегі айнымалының коэффициенттері бөлшек сандар болып келеді.Мысалы: ; түрінде болады. Оларды шешу үшін: 1)теңсіздік құрамындағы барлық өрнектерді оның бір жақ бөлігіне шығару; 2)шыққан қосылғыштарды ортақ бөлімге келтіріп,оны бір бөлшек түрінде жазу;

3)бөлшектің алымын сызықтық теңсіздік ретінде шешу;

Егер теңсіздікте бөлшек рационал өрнек (бөлімінде айнымалысы) бар болса,ол бөлшек-рационал теңсіздік деп аталады. Мысалы: ; Рационал теңсіздіктерді шығарғанда бөлшек бөліміндегі өрнекті ескеру керек.

Рационал теңсіздіктерді шығарудың алгоритмі:

1)теңсіздік құрамындағы барлық өрнектерді оның бір жақ бөлігіне шығару; 2)шыққан қосылғыштарды ортақ бөлімге келтіріп,оны бір бөлшек түрінде жазу;

3)бөлшектің алымын да,бөлімін де жай көбейткіштерге жіктеп жазу;

4)сан осін салып,аралықтар тәсілін қолдану;

5)есеп жауабын жазу.

Квадраттық теңсіздіктер

(мұндағы х - айнымалы;а.в,с –сандар, ) түріндегі теңсіздіктер квадраттық теңсіздіктер деп аталады. Квадраттық теңсіздіктің шешімі деп квадраттық теңсіздікті қанағаттандыратын айнымалының барлық мәндерінің жиынын айтады.Оны шешудің үш түрлі тәсілін қарастырайық:

а)квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеп,әрбір көбейткіштің нөлге айналатын нүктелерін анықтап,осы нүктелер көмегімен сан осін бөліктерге бөліп және осы бөліктердің әрқайсысында көбейткіштердің таңбалары арқылы квадрат үшмүшенің таңбасын анықтау.Бұл тәсіл – аралықтар (интервалдар) әдісі деп аталады.

Ә) квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеп,көбейтіндінің оң (не теріс) болуы заңдылықтарын қолдану

Б) квадрат үшмүше графигінің абсциссалар осіне қатысты орналасуын анықтап, оның оң және теріс бөліктерін көрнекі деңгейде анықтау.

Квадрат теңсіздіктерді шешу үшін:

I жағдай. 1) а>0 және D>0.

Квадраттық функцияның графиктері абсцисса осін х₁;х₂ нүктелерде қияды,парабола тармақтары жоғары бағытталған.

функциясы үшін түбірлерінің «сыртындағы» мәндер функциясы үшін түбірлерінің «арасындағы» мәндер алынады.

2) а<0 және D>0. Бұл жағдайда парабола тармақтары төмен бағытталады, жауап: теңсіздігі үшін х<х₁ және х>х₂; теңсіздігі үшін х₁ < х < х₂ болады.

I I жағдай. 1) а>0 және D=0.

Квадрат үшмүшенің екі бірдей түбірі бар:

теңсіздігі үшін шешімі болмайды; теңсіздігі үшін мәнінен басқа кез-келген мән болады.

2) а< 0 және D=0.

Бұл жағдайда парабола абсцисса осін нүктесінде жанайды,Ох осінен тармақтары төмен бағытталады,жауап: теңсіздігі үшін мәнінен басқа кез-келген мән болады; теңсіздігі үшін шешімі болмайды.

III Жағдай. 1) а>0 және D < 0.

Бұл жағдайда квадрат үшмүшенің нақты түбірлері жоқ және график Ох осінен жоғары орналасқан,яғни абсцисса осімен қиылыспайды. Сондықтан теңсіздігі х- тің кез-келген мәнінде орындалады,ал теңсіздігінің шешімі болмайды.

2) а < 0 және D < 0. Квадрат үшмүшенің нақты түбірлері жоқ және график Ох осінен төмен орналасқан,яғни абсцисса осімен қиылыспайды. теңсіздігі х- тің кез-келген мәнінде орындалады,ал теңсіздігінің шешімі болмайды.

Модуль ішіндегі айнымалысы бар теңсіздіктерді шешу

Оң санның модулі өзіне тең. Теріс санның модулі оған қарама-қарсы санға тең.

Модульдің геометриялық ағынасы:

болғандықтан 0 нүктесінен -4 нүктесіне дейінгі ара қашықтық, болғандықтан 0 нүктесінен 3 нүктесіне дейінгі ара қашықтық. Мысалы:

1)

2) теңдеуін шешейік.

Шешуі: х-3>0 болса, х-3= 1,х= 4; ал х-3<0 болса х-3 = -1, х = 2. Жауабы: 2;4

Әрбір функция үшін анықталу аймақтарын, нолдерін немесе үзіліс нүктелерін табу керек. Ол нүктелер берілген теңдеудің жалпы анықталу аймағын бірнеше аймақтарға бөледі. Ары қарай функцияларының осы аймақтардағы таңбаларын ескере отырып теңсіздікті шешеміз.

Модульмен берілген теңсіздіктерді шешу тәсілдері:

I.

II.

Екі айнымалысы бар сызықтық емес теңдеулер жүйесі

Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеуде әрбір қосылғыштағы айнымалылардың дәреже көрсеткіштерінің қосындысы 1- ден артық бюлатын теңдеулер екі айнымалысы бар сызықтық емес теңдеулер деп аталады. Екі айнымалысы бар сызықтық емес теңдеудегі бірмүшелердің ең жоғарғы дәреже көрсеткіші осы теңдеудің дәрежесі болады.

Мысалы: 3х² + у =11 - екінші дәрежелі теңдеу;

0,2 ху² – 4у² +1,2 = 0 - үшінші дәрежелі теңдеу

Екі айнымалысы бар теңсіздіктер

Екі айнымалыдан тұратын теңсіздікті екі айнымалысы бар теңсіздік деп атайды.

Функцияның анықталу облысын анықтауда сызықтық емес теңсіздіктердің жүйесін шешу тәсілдерін қолданамыз.Екі айнымалысы бар теңсіздіктерді шешу алгоритмі:

1.теңсіздікке сәйкес функция түрін анықтау

2.функция графигін координаталар жазықтығына салып,жазықтықты бөліктерге бөлу

3.жазықтықтың қай бөлігі теңсіздіктің шешімі болатынын анықтау;Ол үшін жазықтықтың бір бөлігінен кез-келген нүкте алып,оның координатасын берілген теңсіздікке қойып,дұрыстығын тексереміз; теңсіздік дұрыс болатын жазықтық бөлігінің нүетелер жиынын теңсіздіктің шешімі ретінде аламыз.

Екі айнымалысы бар теңсіздіктер жүйесін шешу

Екі айнымалысы бар теңсіздіктер жүйесінің шешуі деп жүйенің әр теңсіздігін дұрыс теңсіздікке айналдыратын айнымалының мәнін айтады. Теңсіздіктер жүйесін графиктік тәсілді қолданып шешеміз. Жүйенің шешімі теңсіздікердтің шешімдерінің ортақ бөлігі (қиылысуы) болып табылады және ол бөлік екі рет штрихталып бейнеленеді.

Теңсіздіктерді дәлелдеу

Теңсіздіктерді дәлелдеу дегеніміз – айнымалының кез-келген мәнінде теңсіздіктің орындалатынын көрсету. Теңсіздіктерді дәлелдеуде осы уақытқа дейінгі алынған білімдерді қолданып логикалық талдау жасаймыз. Мысалы:

(х+у)²≥ 4ху; х²+ 2ху+ у² - 4ху ≥ 0; х²- 2ху+ у² ≥ 0; (х-у)²≥ 0

Яғни екі санның айырмасының квадраты барлық уақытта нөлден үлкен немесе тең болады.

Теңдеулер жүйесін қолданып есептер шығару

Есептерді теңдеулер жүйесі арқылы шығарғанда төмендегі алгоритмді қолдану керек:

1. Есептің шартын талдау

2. Берілген шамаларды әріппен белгілеу

3. Белгіленген әріптер арқылы берілген шаманы өрнектеу

4. Теңдеулер жазу және олардан жүйе құру

5. Жүйенің шешімін табу

6. Жүйе шешімдерінің қайсысы есептің берілгенін қанағаттандыратынын зерттеу

Қозғалысқа арналған есептер

Қозғалыс тақырыбында кездесетін шамалар:

Жылдамдық - v, уақыт -t,қашықтық- s

Егер қозғалыс өзен ағыстарына қатысты болса:

Сандар тізбегі және олардың берілу тәсілдері

Натурал аргументті функция санды тізбек,ал тізбекті құрайтын сандарды тізбектің мүшелері деп атайды. Жұп сандар тізбегі:2,4,6,8,10,12,14,16,18... Бір ғана саннан құралған тізбек тұрақты тізбек деп аталады.Мысалы:2;2;2;2;2...

Санды тізбектің берілу тәсілдері:

1)баяндау тәсілі – тізбектің орналасу заңдылығы сөзбен беріледі.

2)аналитикалық тәсіл – тізбектің n –ші мүшесі формула арқылы беріледі.

3)рекурренттік тәсіл – тізбектің (n+1) –ші мүшесі n –ші мүшесі арқылы есептелінетін формула түрінде беріледі.

Геометриялық прогрессия. Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы.

Екінші мүшесінен бастап кез-келген мүшесі алдынғы мүшесін,нөлден өзгеше,қандай да бір тұрақты санға көбейткенде шығатын санды тізбекті геометриялық прогрессия деп атайды. Келесі мүшесін алу үшін алдыңғы мүшесіне көбейтілетін сан геометриялық прогрессияның еселігі деп аталады және q әрпімен белгіленеді яғни b₂ = b₁ q.

Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы: b_n = b₁ q^n-1.

Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы. Шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысы.

Еселігі 1-ге тең емес геометриялық прогрессияның n алғашқы мүшесінің қосындысын Sn =b₁+b₂+b₃+...+bn деп белгілейік. Сонда: .

Егер q › 1 болған жағдайда, геометриялық прогрессияның n алғашқы мүшесінің қосындысын табу үшін келесі формуланы қолданған ыңғайлы:

Еселігі |q< 1| болатын геометриялық прогрессияны шексіз кемімелі геометриялық прогрессия деп атайды.

Шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысының формуласы:

Арифметикалық прогрессия. Арифметикалық прогрессияның n- ші мүшесінің формуласы

Екінші мүшесінен бастап әрбір мүшесі алдыңғы мүшесіне қандай да бір тұрақты санды қосқанда шығатын санды тізбекті арифметикалық прогрессия деп аталады. D - арифметикалық прогрессияның айырымы. Арифметикалық прогрессияның әрбір мүшесін,оның бірінші мүшесі a₁ мен айырмасы d арқылы өрнектеуге болады: a₂ =a₁+d. Арифметикалық прогрессияның n- ші мүшесінің формуласы: a_n = a₁ + (n-1) d

Бұрыштық, градустық және радиандық өлшемі

Шеңбердің доғасының радиандық өлшемі деп ұзындығы шеңбердің радиусына тең шаманы айтады.

-дің градустық шамасы 180⁰

Кез келген бұрыштың тригонометриялық функциялары

Синус функциясы I, II ширектерде оң, ал III, IV ширектерде теріс мәндер қабылдайды, әрі тақ функция, яғни sin(–x) = –sinx, ең кіші оң периоды 2π.

Косинус функциясы I, IV ширектерде оң, ал II, III ширектерде теріс мәндер қабылдайды, әрі жұп функция, яғни cos(–x) = cosx, ең кіші оң периоды 2π.

Тангенс функциясы ширектерде I, III оң, ал II, IV ширектерде теріс мәндер қабылдайды, әрі тақ функция, яғни tg(–x) = –tgx, ең кіші оң периоды π.

Котангенс функциясы I, III ширектерде оң, ал II, IV ширектерде теріс мәндер қабылдайды, әрі тақ функция, яғни ctg(–x) = –ctgx, ең кіші оң периоды π.

Негізгі тригонометриялық тепе-теңдіктер

Тригонометрияның негізгі формулалары: