Формула обращения

Теорема 1. Пусть (X, £) – конечное частично упорядоченное множество. Тогда для любых функций f, g: X® R равносильны следующие свойства

(1) ;

(2) .

Доказательство. Пусть A – матрица смежности частично упорядоченного множества (X, £). Тогда выполнение равенства (1) равносильно соотношениям g(x_i)= S_j a_ij f(x_j). Поскольку это равносильно равенству g=Af, эквивалентного равенству f=A^-1g, то получаем, что (1) верно тогда и только тогда, когда верно (2).

Рассматривая частично упорядоченное множество с двойственным отношением порядка, получаем следующую теорему:

Теорема 2. Пусть (X, £) – конечное частично упорядоченное множество. Тогда для любых функций f, g: X® R равносильны следующие свойства

(1) ;

(2) .