Теорема о произведении

Теорема 1. Пусть (X,£) и (Y,£) – конечные частично упорядоченные множества, m_X: X´X® Z и m_Y: Y´Y® Z – их функции Мебиуса. Тогда, для любых x₁, x₂ Î X и y₁, y₂ Î Y имеет место равенство

m_X´Y ((x₁, y₁), (x₂ , y₂ )) = m_X (x₁, x₂) m_Y (y₁, y₂).

Доказательство. Введем дзета-функцию z_X: X´X® Z, с помощью формулы z_X (x₁, x₂ ) = 1 Û x₁ £ x₂. Достаточно доказать формулу

,

где d_a,b – символ Кронекера. Вычислим левую часть доказываемой формулы

Получили, что она равна правой части. Что и требовалось доказать.

Пример 1. Вычислим в частично упорядоченном множестве делителей числа n ≥ 1. По доказанной теореме, в случае разложения n = в произведение степеней различных простых чисел p_i>1, будет иметь место соотношение . Поскольку

то имеем

m(1,n) = 0, если существует i такой, что a_i >1,

m(1,n) =(-1)^m, если n = p₁p₂ × × × p_m.