Метод сильной связи

Для расчета зонной структуры глубоких энергетических уровней используют метод сильной связи, предложенный Блохом. В нем предполагается, что энергия электрона в изолированном атоме мало изменяется при конденсации атомов в кристалл.

Используя метод возмущений, в качестве нулевого приближения выбираем состояние электрона в кристалле из невзаимодействующих атомов, которое описывается уравнением Шредингера

(4.27)

где

(4.28)

Решение уравнения (4.27) для изолированного атома известно, а влияние периодического поля на движение электрона и взаимодействие между атомами можно принять как возмущение. Тогда уравнение Шредингера

(4.29)

будет иметь гамильтониан вида

(4.30)

где – вектор трансляции решетки. В (4.30) второе слагаемое представляет потенциальную энергию электрона в кристалле, третье – энергию взаимодействия атомов.

В качестве нулевого приближения для волновой функции выбираем линейную комбинацию атомных волновых функций

(4.31)

причем из условия периодичности следует, что Умножая (4.29) на сопряженную волновую функцию и интегрируя по всему объему, найдем среднее значение энергии

(4.32)

Воспользовавшись (4.30), (4.31) и условием нормирования для волновых функций, преобразуем (4.32) к следующему виду

(4.33)

где – энергия электрона в изолированном атоме, следующие слагаемые являются поправками первого и второго приближения:

(4.34)

(4.35)

Выражение (4.34) определяет усредненную для некоторого атома потенциальную энергию электрона в поле всех других ядер и электронов; интеграл (4.35) характеризует обменное взаимодействие между парой каких-либо атомов, которые находятся на расстоянии один от другого, следовательно, учитывается перекрывание волновых функций по всему кристаллу и электрон тем самым не локализуется возле отдельного атома. Это слагаемое, собственно говоря, отражает влияние поля решетки на движение электрона в кристалле.

Таким образом, на основании (4.33) можно сделать вывод, что каждое атомное состояние превращается в разрешенную энергетическую зону и энергетический уровень размывается в полосу, ширина которой пропорциональна . Как и в модели Кронига-Пенни, мы пришли к представлению о зонном характере энергетического спектра электрона в кристалле, то есть к существованию разрешенных зон, разделенных запрещенными зонами (рис. 4.1).