Очевидно, что квантор общности может быть заменен конъюнкцией по предметной области, возможно бесконечной, а квантор существования – дизъюнкцией

Пусть задан двухместный предикат «Решать задачи» на множествах:

М_х={1,2} – множество студентов, М_у={1,2} – множество задач. Тогда возможны следующие варианты для одного квантора:

1) $xР(х,у)=P(1,y)ÚP(2,y) – «Хотя бы 1 студент решает задачи»;

2) $yР(х,у)=Р(х,1)ÚР(х,2) – «Хотя бы одна задача решается студентами»;

3) "xР(х,у)=Р(1,у)×Р(2,у) – «Каждый студент решает задачи»;

4) "yР(х,у)=Р(х,1)×Р(х,2) – «Каждая задача решается студентами».

Очевидно, что эти формулы не замкнутые, т.е. в зависимости от значений переменных они могут принимать различные значения истинности.

Для возможных комбинаций двух кванторов получаем соответствующие замкнутые формулы.

Для одноименных кванторов:

5) $x$yР(х,у)=Р(1,1)ÚР(2,1)ÚР(1,2)ÚР(2,2)=$y$xР(х,у) – «Существуют студенты, решающие хотя бы одну задачу», или, что то же самое, «Существуют задачи, решаемые хотя бы одним студентом»;

6) "x"yР(х,у)=Р(1,1)×Р(2,1)×Р(1,2)×Р(2,2)="y"xР(х,у) «Каждый студент решает каждую задачу» или, что то же самое, «Каждая задача решается каждым студентом».

Для разноименных кванторов:

7) $x"yР(х,у)=Р(1,1)×Р(1,2)ÚР(2,1)×Р(2,2) –

(x=1) (x=2)

«Существуют студенты, решающие каждую задачу»;

Ясно, что при перестановке кванторов получается совсем другой смысл:

8) "y$xР(х,у)=[Р(1,1)ÚР(2,1)]×[Р(1,2)ÚР(2,2)] –

(y=1) (y=2)

«Каждый студент решает хотя бы одну задачу»;

9) "x$yР(х,у)=[Р(1,1)ÚР(1,2)]×[Р(2,1)ÚР(2,2)] –

(x=1) (x=2)

«Каждая задача решается хотя бы одним студентом».

Наоборот:

10) $y"xР(х,у) = Р(1,1)×Р(2,1)ÚР(1,2)×Р(2,2) –

(y=1) (y=2)

«Существуют задачи, решаемые каждым студентом».

Таким образом, нетрудно показать что из $x"yР(х,у) следует "y$xР(х,у), т.е. из суждения «по меньшей мере один студент решил все задачи» следует суждение «каждую задачу решил по меньшей мере один студент» [25].

Действительно:

Аналогично доказывается то, что из $y"xР(х,у) следует "x$yР(х,у) т.е. из суждения «по меньшей мере одна задача решена каждым студентом» следует суждение «каждая задача решена по меньшей мере одним студентом».

Таким образом, одноименные кванторы можно менять местами:

$x$yР(х,у)=$y$xР(х,у);

" x"yР(х,у)="y"xР(х,у).

Разноименные кванторы нельзя менять местами, но:

$x"yР(х,у)®"y$xР(х,у);

$y"xР(х,у)®"x$yР(х,у).

Рассмотрим другие равносильности:

Квантор общности может быть перенесен через конъюнкцию:

.

Квантор существования может быть перенесен через дизъюнкцию:

.

Кроме того, очевидны равносильности [29]:

, где F – не содержит x;

, где F – не содержит x;

, где F – не содержит x;

, где F – не содержит x.