Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Задача 1. Даны векторы и в некотором базисе трехмерного пространства. Показать, что векторы образуют базис данного трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

1.1. (1;2;3), (-1;3;2), (7;-3;5), (6;10;17).

1.2. (4;7;8), (9;1;3), (2;-4;1), (1;-13;-13).

1.3. (8;2;3), (4;6;10), (3;-2;1), (7;4;11).

1.4. (10;3;1), (1;4;2), (3;9;2), (19;30;7).

1.5. (2;4;1), (1;3;6), (5;3;1), (24;20;6).

1.6. (1;7;3), (3;4;2), (4;8;5), (7;32;14).

1.7. (1;-2;3), (4;7;2), (6;4;2), (14;18;6).

1.8. (1;4;3), (6;8;5), (3;1;4), (21;18;33).

1.9. (2;7;3), (3;1;8), (2;-7;4), (16;14;27).

1.10. (7;2;1), (4;3;5), (3;4;-2), (2;-5;-13).

Задача 2. Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

Задача 3. Даны вершины треугольника. Найти: 1) длину стороны ; 2) внутренний угол в радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину ; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину ; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины ; 7) систему неравенств, определяющих треугольник . Сделать чертеж.

3.1. .

3.2. .

3.3. .

4.4. .

3.5. .

3.6. .

3.7. .

3.8. .

3.9. .

3.10. .

Задача 4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж.