Проверка однородности ряда дисперсии

Задача: Влияет ли степень деформации на разброс механических свойств стали 40?Уровень значимости при проверке принять равным α=0,05.

Таблица 1 – Экспериментальные данные

	ε = 10 %	ε = 20%	ε = 30 %	ε = 40 %
σ_в	1210 1200 1230	1250 1270 1280 1260	1300 1290 1320	1310 1300 1320

Решение: В нашей задаче имеет место неравномерное дублирование опытов, поэтому, для подсчета дисперсии результата в отдельных опытах, воспользуемся формулой

где - результат g -го повторения u -го опыта;

- среднее арифметическое всех n_u дублей u -го опыта;

f_u - число степеней свободы при определении дисперсии , (f_u = n_u – 1)

Упростим данную формулу, приведя ее к следующему виду:

для расчета дисперсий в отдельных опытах , , , произведем следующие вычисления и сведем их в таблицу 2.

Таблица 2 – Расчетные значения для определения дисперсий в отдельных опытах




= 3640	=	=	=	=	=	=	=

Определим среднюю дисперсию опыта

Для ответа на поставленный в задании вопрос необходимо проверить однородность ряда дисперсий. Так как у нас используется неравномерное дублирование, то однородность ряда дисперсий проверим по критерию Бартлета.

где - средняя дисперсия опыта;

- дисперсия каждого из дублированных опытов.

Найденную величину критерия Бартлета сопоставим с критерием Пирсона χ², который берется из справочной таблицы 3, приведенной в приложении, в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы f, при этом

f = N-1,

где N – количество дублированных опытов.

f = N-1=4-1=3

В нашем случае , следовательно, это означает, что степень деформации на разброс механических свойств стали 40 при уровне значимости α=0,05 не влияет.

Примечание: если значение критерия Бартлета окажется сравнимо или превышает табличное значение , то его уточняют по формуле

после этого снова сравнивают с критерием .

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

Задача. Построить план эксперимента для изучения влияния содержания углерода и легирующих элементов на ударную вязкость стали 40ХН в рамках ее марочного состава.

Решение. Определим уровни варьирования факторов, для этого из марочника стали выпишем содержание основных легирующих элементов в таблицу 1.

Таблица 1 – Исходные данные для планирования

Марка стали	С, %	Cr, %	Ni, %
40ХН	0,36 - 0,44	0,45 - 0,75	1,00 – 1,40

Зная максимальное и минимальное содержание легирующих элементов в составе стали 40ХН составим таблицу 2 с условиями эксперимента.

Таблица 2 – Уровни варьирования факторов

Факторы	С, %	Cr, %	Ni, %
Основной уровень Интервал варьирования Верхний уровень (+1) Нижний уровень (-1)	0,4 0,04 0,44 0,36	0,6 0,15 0,75 0,45	1,2 0,2 1,4 1,0

Поскольку в данной задаче число факторов не превышает 5, то для получения несмешанных оценок эффектов факторов и эффектов парных взаимодействий необходимо использовать полный факторный эксперимент (ПФЭ). В нашем случае это будет ПФЭ=2³ (2 – число уровней варьирования, 3 – число факторов). Данный план содержит 2³=8 опытов. Для оценки дисперсии опыта добавим к ним 3 опыта в центре плана (уровни варьирования факторов в этих опытах не изменяются и соответствуют х_i=0, то есть основному уровню).

Составим матрицу плана эксперимента в кодированном масштабе, таблица 3.

Таблица 3 – План эксперимента в кодированном масштабе*

№ опыта	х ₀	х ₁	х ₂	х ₃
	+ + + + + + + +	+ - + - + - + -	+ + - - + + - -	+ + + + - - - -
	+ + +

* Примечание. В таблице присутствует столбец х₀, который соответствует фиктивной переменной, имеющей во всех опытах уровень х₀=+1 и служащей для расчета свободного члена уравнения регрессии b₀.

Построим план эксперимента в натуральном масштабе и представим его в виде таблицы 4.

Таблица 4 – План эксперимента в натуральном масштабе

№ опыта	Порядок реализации опытов	С, %	Cr, %	Ni, %	KCU, Дж/см²
		0,44 0,36 0,44 0,36 0,44 0,36 0,44 0,36	0,75 0,75 0,45 0,45 0,75 0,75 0,45 0,45	1,4 1,4 1,4 1,4 1,0 1,0 1,0 1,0
		0,4 0,4 0,4	0,6 0,6 0,6	1,2 1,2 1,2

Уровени, соответствующие х_i=+1 или х_i=-1, для каждого из факторов берем из таблицы 2.

В таблице 4 оставлен один пустой столбец для записи результатов опытов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологииУчеб. пособие. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк, 1985.- 327 с.

2. Крохалев А.В., Шевкун Г.П. Методы организации экспериментов в металловедении. Учебное пособие. Волгоград, изд-во ВолгПИ, 1990. 72 с.

3. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул.: Учебное пособие для втузов. – 2-е изд., пераб. И доп. – М.:Высш. шк., 1988. – 238 с.

4. Новик Ф. С., Арсов Я. Б. Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов, М.-София, 1980. – 304 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 1 – Критерий распределения Стьюдента (t – критерий)

Число степеней свободы, f	Уровени значимости, α
0,5	0,4	0,3	0,1	0,05	0,01
		1,376	1,963	6,314	12,706	63,657
	0,817	1,061	1,386	2,92	4,303	9,925
	0,765	0,979	1,25	2,353	3,182	5,841
	0,741	0,941	1,19	2,132	2,776	4,604
	0,727	0,92	1,156	2,015	2,571	4,032
	0,718	0,906	1,134	1,943	2,447	3,707
	0,711	0,896	1,119	1,895	2,365	3,499
	0,706	0,889	1,108	1,86	2,306	3,355
	0,703	0,883	1,1	1,833	2,262	3,25
	0,7	0,879	1,093	1,812	2,228	3,169
	0,697	0,876	1,088	1,796	2,201	3,106
	0,696	0,873	1,083	1,782	2,179	3,055
	0,694	0,87	1,08	1,771	2,16	3,012
	0,692	0,868	1,076	1,761	2,145	2,977
	0,694	0,87	1,08	1,753	2,131	2,947
	0,69	0,865	1,071	1,746	2,12	2,921
	0,689	0,863	1,069	1,74	2,11	2,898
	0,688	0,862	1,067	1,734	2,101	2,878
	0,688	0,861	1,066	1,729	2,093	2,861
	0,687	0,86	1,064	1,725	2,086	2,845
	0,686	0,859	1,063	1,721	2,08	2,831
	0,686	0,858	1,061	1,717	2,074	2,819
	0,685	0,858	1,06	1,714	2,069	2,807
	0,685	0,857	1,059	1,711	2,064	2,797
	0,684	0,856	1,058	1,708	2,06	2,787
	0,684	0,856	1,058	1,706	2,056	2,779
	0,684	0,855	1,057	1,703	2,052	2,771
	0,683	0,855	1,056	1,701	2,048	2,763
	0,683	0,854	1,055	1,699	2,045	2,756
	0,683	0,854	1,055	1,697	2,042	2,75
	0,681	0,851	1,05	1,684	2,021	2,704
	0,675	0,842	1,037	1,645	1,96	2,576

Таблица 2- Критические значения коэффициента корреляции

Число степеней свободы, f	Уровени значимости, α
0,1	0,05	0,02	0,01	0,001
	0,988	0,997	0,9995	0,9999
	0,9	0,95	0,98	0,99	0,999
	0,805	0,878	0,934	0,95873	0,99116
	0,729	0,811	0,882	0,9172	0,97406
	0,669	0,755	0,833	0,8745	0,95074
	0,622	0,707	0,789	0,8343	0,92493
	0,582	0,666	0,75	0,7977	0,8982
	0,549	0,632	0,715	0,7646	0,8721
	0,521	0,602	0,685	0,7348	0,8471
	0,497	0,576	0,658	0,7079	0,8233
	0,476	0,553	0,634	0,6835	0,801
	0,458	0,532	0,612	0,6614	0,78
	0,441	0,514	0,592	0,6411	0,7603
	0,426	0,497	0,574	0,6226	0,742
	0,412	0,482	0,558	0,6055	0,7246
	0,4	0,468	0,542	0,5897	0,7084
	0,389	0,456	0,529	0,5751	0,6932
	0,378	0,444	0,515	0,5614	0,6787
	0,369	0,433	0,503	0,5487	0,6652
	0,36	0,423	0,492	0,5368	0,6524
	0,352	0,413	0,482	0,526	0,64
	0,344	0,404	0,472	0,515	0,629
	0,337	0,396	0,462	0,505	0,618
	0,33	0,388	0,453	0,496	0,607
	0,323	0,381	0,482	0,4869	0,5974
	0,296	0,349	0,4487	0,4487	0,5541
	0,275	0,325	0,4182	0,4182	0,5189
	0,257	0,304	0,3932	0,3932	0,4896
	0,243	0,288	0,3721	0,3721	0,4648
	0,231	0,273	0,3541	0,3541	0,4433
	0,211	0,25	0,3248	0,3248	0,4078
	0,195	0,232	0,3017	0,3017	0,3799
	0,183	0,217	0,283	0,283	0,3568
	0,173	0,205	0,2673	0,2673	0,3375
	0,164	0,195	0,254	0,254	0,3211
	0,15	0,178	0,21	0,21	0,294
∞	0,073	0,087	0,103	0,103	0,146

Таблица 3 - Критерий Пирсона χ²

	χ²
Число степеней свободы, f	Уровени значимости, α
0,99	0,95	0,9	0,5	0,1	0,05	0,01
	0,000157	0,00393	0,0158	0,455	2,706	3,841	6,635
	0,0201	0,103	0,211	1,386	4,605	5,991	9,21
	0,115	0,352	0,584	2,366	6,251	7,815	11,345
	0,297	0,711	1,064	3,357	7,779	9,488	13,277
	0,554	1,145	1,16	4,351	9,233	11,07	15,086
	0,872	1,635	2,204	5,348	10,645	12,592	16,812
	1,239	2,167	2,833	6,346	12,017	14,067	18,475
	1,646	2,733	3,49	7,344	13,362	15,507	20,09
	2,088	3,325	4,168	8,343	14,684	16,919	21,666
	2,358	3,94	4,865	9,342	15,987	18,307	23,209
	3,053	4,575	5,578	10,341	17,275	19,675	24,725
	3,571	5,226	6,304	11,34	18,549	21,026	26,217
	4,107	5,892	7,042	12,34	19,812	22,362	27,688
	4,66	6,571	7,79	13,339	21,064	23,585	29,141
	5,229	7,261	8,547	14,339	22,307	24,996	30,578
	5,812	7,962	9,312	15,333	23,542	26,296
	6,408	8,672	10,035	16,338	24,769	27,587	33,409
	7,015	9,39	10,865	17,338	25,989	28,869	34,805
	7,633	10,117	11,651	18,338	27,204	30,144	36,191
	8,26	10,851	12,443	19,337	28,412	31,41	37,566
	8,897	11,591	13,24	20,337	29,615	32,671	38,932
	9,542	12,338	14,041	21,337	30,813	33,924	40,289
	10,196	13,091	14,848	22,337	32,007	35,172	41,638
	10,856	13,848	15,659	23,337	33,196	36,415	42,98
	11,524	14,611	16,473	24,337	34,382	37,652	44,314
	12,198	15,379	17,292	25,336	35,563	38,885	45,642
	12,879	16,151	18,114	26,336	36,741	40,113	46,963
	13,565	16,928	18,939	27,336	37,916	41,337	48,278
	14,256	17,708	19,768	28,336	39,087	42,557	49,588
	14,953	18,493	20,599	29,336	40,256	43,773	50,892