Многомерная безусловная минимизация

2.1. Использование функции fminsearch

Вызывая справочную функцию help, изучить параметры и способы использования функции fminsearch. Пояснения поместить в отчёт.

2.2. Задача: найти минимум целевой функции

y=fun2(x)=3|x₁|+|x₂|.

Решение получаем с помощью следующего оператора:

>> [x,f]=fminsearch ('3*abs(x(1))+abs(x(2))',[1;1])

Результат прокомментировать

x = 1.0e-004 *

-0.1439

0.3565

f = 7.8809e-005

2.3. Создать m-файл, содержащий следующую функцию:

function z=discont(x)

if (x(1)> 0) & (x(2) >= 0) % 1

z = x(1)+2*x(2);

elseif (x(1)<= 0) & (x(2) >= 0) % 2

z = -2*x(1)+x(2);

elseif (x(1)< 0) & (x(2) <= 0) % 3

z = -x(1)-2*x(2);

elseif (x(1)>= 0) & (x(2) < 0) % 4

z = 2*x(1)-x(2);

elseif (x(1)== 0) & (x(2) == 0) % 00

z = 0;

end

Задать режим работы функции fminsearch:

>> options=optimset ('Display','off');

Задать начальную точку поиска:

>> x0=[0.5; 0.1];

Вызвать функцию поиска:

>> [x,f,e_flag] = fminsearch (@discont,x0,options)

Результаты прокомментировать.

x = 1.0e-003 *

0.0640

-0.1342

f = 2.6229e-004

e_flag = 1

Проведите расчёт, изменив значение x0.

Результаты выполненного пункта прокомментировать.

2.4. Поиск минимума «банана Розенброка»

Функция Розенброка имеет вид:

z=100(x₂–x₁²)²+(1–x₁)²

Создайте m-файл функции:

function f=Rosenbrock(x)

f = 5*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;

Для вычислений используйте функцию следующего m-файла:

function prog15_5

X0=-3:0.1:3;

Y0=-2:0.1:5;

[X Y]=meshgrid(X0,Y0);

s=size(X); Z=zeros(s);

for i=1:s(1)

for j=1:s(2)

Z(i,j) = Rosenbrock([X(i,j); Y(i,j)]);

end

axes('Xlim',[-3 3], 'Ylim',[-2 5]);

axis equal; grid off; hold on;

v=1:2:10; V=10:4:20;

contour(X,Y,Z,[v V]);

xlabel('x1'); ylabel('x2');

x0=[-2; 2];

line(x0(1),x0(2), 'Marker', '.', 'MarkerSize', 10);

[x,f]=fminsearch('5*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2', x0)

line(x(1),x(2), 'Marker', '.', 'MarkerSize', 20);

plot([x0(1),x(1)], [x0(2),x(2)],'k-')

После расчёта по команде

>> prog15_5

прокомментируйте результат.

x =

1.0000

f = 1.8161e-009

2.5. Если выполнить следующее обращение к функции, она выведет дополнительные параметры – признак завершения работы и информацию о числе шагов поиска и обращений к вычислению целевой функции, а также название алгоритма поиска:

>> x0=[-2; 2];

>> [x,f,e_flag,inform]=fminsearch('5*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2', x0)

x =

1.0000

f = 1.8161e-009

e_flag = 1

inform =

iterations: 61

funcCount: 115

algorithm: 'Nelder-Mead simplex direct search'

2.6. С помощью функции fminsearch найти минимум следующих функций нескольких переменных:

Таблица 2.

Вариант	Вид функции fun(x, у)	Начальные точки поиска
1(1, 9, 17)	x² – xy + y² – 2x + y	[0; 1]
2(2, 10, 18)	x² y³ (6 – x – y)	[1; 1]
3(3, 11, 19)	x³ + y³ – 3xy	[0; 0]
4(4, 12, 20)	x⁴ + y⁴– x² – 2xy – y²	[0; 0]
5(5, 13, 21)	2x⁴ + y⁴– x² – 2y²	[1; 0.5], [–1, –2]
6(6, 14, 22)	xy + 50/x + 50/y	[2; 1]
7(7, 15, 2)	xy (1 – x²– y²)^1/2	[0.5; –0.5], [–0.5; 0.5]
8(8, 16, 21)	(x²+ y²)^1/2 – 1	[1; 1]
9(9, 18, 3)	x² + xy + y² – 4 ln x – 10 ln y	[2; 1]
10(10, 19, 1)	(x – y + 1)²	[2; 2]
11(11, 20, 2)	xy ln (x² + y²)	[1; 1], [–1; –1]
12(12, 21, 3)	x + y + 4 sin x sin y	[0; 0], [3; 3]
13(13, 22, 4)	x² + y² + z²+ 2x + 4y – 6z	[0; –1; 2]
14(14, 20, 5)	x² + y² + z²+ 12xy + 2z	[0; –10; 0]
15(15, 21, 6)	x + y²/4x + z²/y + 2/z	[0; 0; 0]
16(16, 3, 7)	xy²z³(7 – x – 2y – 3z)	[0; 0; 0]
17(17, 10, 4)	e^2x+3y (8 x² – 6xy + 3y²)	[1; 2]
18(18, 11, 5)	exp{x² – y}(5 – 2x + y)	[–1; –1]
19(19, 12, 6)	sin x + cos y + cos (x – y)	[2; 2]
20(20, 13, 9)	sin x sin y sin (x + y)	[1; 1]
21(21, 14, 8)	(x² + y²) exp{–(x² + y²)}	[1; 1]
22(22, 15, 10)	sin x + sin y + sin z – sin(x+y+z)	[1; 1; 1]

В отчёте представьте результаты с комментариями.

3. Использование функции fminunc

Для ускорения поиска в функцию необходимо включить формулы для вычисления градиента и гессиана. Это необходимо указать в списке управляющих параметров для функции минимизации:

Options=optimset('Display', 'final','GradObj', 'on', 'Hessian', 'on');

[x,f1,e_flag,out,grad,hes]=fminunc(@Descartes,x0,options)

В режиме функции help изучить параметры и способы использования функции fminunc. Записать пояснения в отчёт.

3.1. Текст следующей функции записать в соответствующий m-файл:

function prog15_6

axes('Xlim',[-1.5 2.5], 'Ylim',[-1.5 2.5]);

axis equal; grid off; hold on;

xlabel('x1'); ylabel('x2');

colormap copper;

X0=-1.5:0.05:2.5;

[X Y]=meshgrid(X0);

s=size(X); Z=zeros(s);

for i=1:s(1)

for j=1:s(2)

Z(i,j) = Descartes([X(i,j); Y(i,j)]);

end

V=-0.8:0.2:1;

contour(X,Y,Z,V);

options=optimset('Display', 'final','GradObj', 'on', 'Hessian', 'on');

x0=[-2; 2];

line(x0(1),x0(2), 'Marker', '.', 'MarkerSize', 10);

[x,f1,e_flag,out,grad,hes]=fminunc(@Descartes,x0,options)

line(x(1),x(2), 'Marker', '.', 'MarkerSize', 20);

plot([x0(1),x(1)], [x0(2),x(2)],'k-')

function [f,g,H] = Descartes(x)

f = x(1)^3+x(2)^3-3*x(1)*x(2);

if nargout > 1

g = [3*(x(1)^2-x(2)); 3*(x(2)^2-x(1))];

end

if nargout > 2

H = [6*(x(1) -3; -3 6*x(2)];

end

Внимательно изучите текст программы, в отчёте кратко опишите алгоритм её работы.

Вызов функции имеет вид:

>> prog15_6

Результат её выполнения:

Optimization terminated successfully:

Relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun

x =

1.0000

f1 = -1

e_flag = 1

out =

iterations: 6

funcCount: 6

cgiterations: 5

firstorderopt: 6.9849e-010

algorithm: [1x32 char]

grad = 1.0e-009 *

0.6985

hes =

6.0000 -3.0000

-3.0000 6.0000

Поясните полученный результат.

Декартов лист.

3.2. Задание: По образцу рассмотренного примера применить функцию fminunc к минимизации функций предыдущего пункта с использованием градиента и гессиана. Выражения первых и вторых производных привести в отчёте. Сравнить полученные результаты.

3.3. Задача об управлении роботом

Вычисление координат схвата:

function x=coord(q,l)

Q=cumsum(q);

x=[sum(l.*cos(Q)); sum(l.*sin(Q))];

Целевая функция:

function d=dist(q,l,xc)

x=coord(q,l);

d=norm(x-xc);

Исходные данные:

q0=[0.7 -1 0.5];

l=[5 5 5];