Основные свойства степенных рядов

1) Во всех точках, лежащих внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда является непрерывной функцией переменной x:

2) Степенной ряд можно почленно интегрировать внутри интервала сходимости:

3) Внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать:

При почленном интегрировании и дифференцировании степенных рядов их интервалы сходимости не меняются.

Пример 4. Найти сумму ряда

(3.6)

Решение. Найдем сначала интервал сходимости этого ряда n

Следовательно, интервал сходимости ряда (-1, +1). Продифференцировав (3.6), имеем

S¢(x) = 1 + x + x² +... + xⁿ+....

Правая часть этого выражения - геометрический ряд с q = x, который сходится при ½x½<1. Поэтому, используя формулу суммы сходящейся геометрической прогрессии, получим

Отсюда сумму исходного ряда найдем интегрированием

Найдем C. Из (5.6) следует, что S(0) = 0. Следовательно,

0 = - ln (1-0) + C, C = 0.

Таким образом, S(x) = - ln (1-x) = .

Наряду со степенными рядами относительно переменной х часто рассматривают степенные ряды по переменной (x-a), т.е. ряды вида

C₀+ C₁(x-a) + C₂(x-a)² +... C_n(x-a)ⁿ+... (3.7)

Очевидно, что этот ряд подстановкой y = (x - a) превращается в ряд типа (3.3). Поэтому, если степенной ряд (3.3) имеет интервал сходимости - R < x < R, то соответствующий ряд вида (3.7) имеет интервал сходимости (a - R) < x < (a + R), центр которого расположен в точке x = a.

Ряд Тейлора. Пусть функция f(x) в точке х = а имеет производные любого порядка. Предположим, что имеется сходящийся степенной ряд

а₀+ а₁(x-a) + а₂(x-a)² +...+ а_n(x-a)ⁿ+... = (3.8)

сумма которого равна функции f(x), т.е.

(3.9)

Найдем коэффициенты такого ряда. Очевидно, что f(a) = а₀. Продифференцировав (3.8) в точке х=а, имеем а₁=f¢(a). Продифференцировав (3.8) в точке х=а дважды, получим а₂ = (f¢¢(a))/2. Продолжая дифференцирование равенства (3.8) можно убедится, что коэффициенты ряда (находятся по формуле