Явление взаимной индукции двух катушек

Рис. 2. Две взаимодействующие катушки.

Рассмотрим две близкорасположенные катушки 1 и 2 с числом витков w₁ и w₂, причём в катушке 1 протекает ток I₁.

Применим закон (1') к катушке 2

– потокосцепление катушки 2.

Поскольку возникает за счёт протекания тока I₁, то тем больше, чем больше I₁:

Здесь - коэффициент пропорциональности между и – коэффициент взаимной индукции двух катушек. Его значение зависит от формы, размеров, взаимного расположения (конфигурации) катушек, расстояния между ними, а также от значения магнитной проницаемости среды, в которой находятся катушки.

Кроме того, зависит от числа витков катушек. В простейшем случае, если все витки катушки 1 практически одинаковы и все витки катушки 2 практически одинаковы, то М'» w₁ × w₂ × М.

В случае, когда все перечисленные величины, определяющие значение М', не зависят от времени (не изменяются во времени), М' = const. Тогда из (1') и (2') имеем (при М' = const)

То есть, если М' не изменяется во времени, то ЭДС индукции в катушке 2 возникает при изменении тока I₁ в катушке 1.

Проще всего осуществить изменение тока I₁ в катушке 1 можно, замыкая или размыкая ключ k в катушке 1. При замыкании ключа ток I₁ изменяется за короткий промежуток времени от нуля до его стационарного значения. Именно в этот короткий промежуток времени в катушке 2 возникает ЭДС индукции, и по катушке 2 протекает кратковременный ток I₂.

Обозначим t₀ – момент замыкания ключа в катушке 1, t₁ – момент установления в катушке 1 стационарного тока I_1.

Интегрируем обе части (3') по времени от t₀ до t₁.

В любой момент времени, когда и во второй катушке протекает ток I₂, выполняется закон Ома.

,

где - сопротивление катушки 2 вместе с гальванометром. Вынесем из под знака интеграла, получим

Что представляет собой интеграл в правой части этого выражения?

Вспомним, что изменяющийся во времени ток можно записать в любой момент времени в виде:

где q – заряд, протекающий через поперечное сечение провода катушки 2. В то же время этот же заряд протекает через гальванометр G, включённый в цепь катушки 2. То есть имеем

Здесь – заряд, прошедший через гальванометр за весь короткий промежуток времени t₁ – t₀. Отсюда

Для измерения величины заряда, прошедшего по цепи за короткий промежуток времени, используются баллистические гальванометры. Отклонеение стрелки этих приборов тем больше, чем больше заряд, «проскочивший» через гальванометр за короткий промежуток времени.

То есть

Здесь – отклонение стрелки гальванометра (в делениях шкалы),

– коэффициент пропорциональности между и – постоянная гальванометра. Теперь

Если бы было известно сопротивление , то, используя эту формулу, можно было бы найти экспериментальное значение . Поскольку обычно мало и точно его измерить достаточно сложно, часто поступают следующим образом. Обозначим

Эта величина является характеристикой катушки 2 вместе с гальванометром. Тогда

Формально выражение (4) можно переписать в виде

Теперь, если известна постоянная величина C, используя формулу (4) можно найти Но для того, чтобы по формуле (5) определить С, необходимо использовать дополнительно полученное не экспериментально, а теоретически значение при одном конкретном взаимном расположении катушек.

Теоретически вычислить для двух круглых катушек, расположенных на одной оси в воздухе, можно по формуле:

Здесь – магнитная постоянная,

– число витков в катушках 1 и 2,

– радиусы катушек 1 и 2.

Рис. 3. Две взаимодействующие близкорасположенные катушки на одной оси.

Безразмерная величина k определяется взаимным расположением таких катушек и даётся выражением

Здесь h – расстояние между катушками.

В расчётную формулу (6) входит функция этой величины

В этой формуле k = + , – эллиптический интеграл первого рода, – эллиптический интеграл второго ряда. Эллиптические интегралы являются функциями .

Эти функции хорошо известны и часто приводятся в табличном виде.

Таблица 2. Зависимости от k² эллиптических интегралов первого рода К и второго рода Е.

k2	K(k2)	E(k2)		k2	K(k2)	E(k2)		k2	K(k2)	E(k2)
	1,5708	1,5708		0,41	1,78452	1,39465		0,81	2,28055	1,1717
0,01	1,57475	1,56686		0,42	1,79165	1,38988		0,82	2,30523	1,1648
0,02	1,57874	1,56291		0,43	1,79892	1,38509		0,83	2,33141	1,15779
0,03	1,58278	1,55895		0,44	1,80633	1,38026		0,84	2,35926	1,15066
0,04	1,58687	1,55497		0,45	1,81388	1,3754		0,85	2,38092	1,1434
0,05	1,591	1,55097		0,46	1,82159	1,37051		0,86	2,42093	1,136
0,06	1,59519	1,54697		0,47	1,82946	1,3656		0,87	2,45534	1,12845
0,07	1,59942	1,54294		0,48	1,83749	1,36064		0,88	2,49264	1,12074
0,08	1,60371	1,53889		0,49	1,84569	1,36566		0,89	2,53333	1,11286
0,09	1,60805	1,53483		0,5	1,85407	1,35064		0,9	2,57809	1,10477
0,1	1,61244	1,53076		0,51	1,86264	1,34559		0,91	2,62777	1,09648
0,11	1,61689	1,52666		0,52	1,8714	1,34051		0,92	2,68355	1,08794
0,12	1,62139	1,52256		0,53	1,88036	1,33538		0,93	2,74707	1,07912
0,13	1,62595	1,51843		0,54	1,88953	1,33022		0,94	2,82075	1,06999
0,14	1,63058	1,51428		0,55	1,89892	1,32502		0,95	2,90834	1,06047
0,15	1,63526	1,51012		0,56	1,90855	1,31979		0,96	3,01611	1,0505
0,16	1,64	1,50594		0,57	1,91841	1,31451		0,97	3,15587	1,03995
0,17	1,64484	1,50174		0,58	1,92853	1,30919		0,98	3,35414	1,02859
0,18	1,64968	1,49753		0,59	1,93891	1,30383		0,99	3,69564	1,01599
0,19	1,65462	1,49329		0,6	1,94957	1,29843
0,2	1,65962	1,48903		0,61	1,96052	1,29298
0,21	1,6647	1,48476		0,62	1,97178	1,28748
0,22	1,66985	1,48047		0,63	1,98337	1,28194
0,23	1,67507	1,47615		0,64	1,9953	1,27635
0,24	1,68037	1,47182		0,65	2,0076	1,27071
0,25	1,68575	1,46746		0,66	2,02028	1,26501
0,26	1,69121	1,46309		0,67	2,03337	1,25926
0,27	1,69675	1,45869		0,68	2,04689	1,25346
0,28	1,70237	1,45427		0,69	2,06088	1,24759
0,29	1,70809	1,44983		0,7	2,07536	1,24167
0,3	1,71389	1,44536		0,71	2,09037	1,23568
0,31	1,71978	1,44088		0,72	2,10595	1,22963
0,32	1,72578	1,43637		0,73	2,12213	1,22351
0,33	1,73186	1,43183		0,74	2,13897	1,21732
0,34	1,73806	1,42727		0,75	2,15652	1,21106
0,35	1,74435	1,42269		0,76	2,17483	1,20471
0,36	1,75075	1,41808		0,77	2,19397	1,19829
0,37	1,75727	1,41345		0,78	2,21402	1,19178
0,38	1,7639	1,40879		0,79	2,23507	1,18518
0,39	1,77065	1,4041		0,8	2,25721	1,17849