Способ 2

Этот способ определения погрешности косвенных измерений отличается от первого способа меньшими математическими трудностями, поэтому его чаще используют. В начале находят относительную погрешность d, и только затем абсолютную D. Особенно удобен этот способ, если уравнение измерения содержит только произведения и отношения аргументов. Порядок действий можно рассмотреть на том же конкретном примере – определение погрешности при измерении объёма цилиндра:

Все численные значения входящих в формулу величин сохраним теми же, что и при расчетах по способу 1.

При использовании способа 2 следует действовать так:

· прологарифмировать уравнение измерения (логарифм берём натуральный):

· заменить дифференциал каждой величины на абсолютную погрешность этой же величины, а знаки “минус”, если они есть перед погрешностями, на “плюс”:

· Казалось бы, что с помощью этой формулы уже можно дать оценку для относительной погрешности , однако это не так. Требуется так оценить погрешность , чтобы доверительная вероятность этой оценки совпадала с доверительными вероятностями оценки погрешностей тех членов, которые стоят в правой части формулы. Для этого, чтобы это условие выполнялось, нужно все члены последней формулы возвести в квадрат:

Теперь можно вычислить относительную погрешность, извлекая корень квадратный из обеих частей уравнения:

Или в других обозначениях относительная погрешность объёма равна:

Причём вероятность этой оценки погрешности объёма будет совпадать с вероятностью оценки погрешностей, входящих в подкоренное выражение членов:

Сделав вычисления убедимся, что результат совпадает с оценкой по способу 1:

Теперь, зная относительную погрешность, находим абсолютную:

D_V=0,19 х 47=9,4 мм³, P=0,68.

Окончательный результат после округления имеет вид:

V = (47 + 9) мм³, d _V= 19%, P=0,68.

Контрольные вопросы:

1. В чём заключается задача физических измерений?

2. Какие типы измерений различают?

3. Как классифицируют погрешности измерений?

4. Что такое абсолютная и относительная погрешности?

5. Что такое промахи, систематические и случайные погрешности?

6. Как оценить систематическую погрешность?

7. Что такое среднее арифметическое значение измеренной величины?

8. Как оценить величину случайной погрешности, как она связана со средним квадратическим отклонением?

9. Чему равна вероятность обнаружения истинного значения измеренной величины в интервале от Х_ср - s до Х_ср + s?

10. Если в качестве оценки для случайной погрешности выбрать величину 2s или 3s, то с какой вероятностью истинное значение будет попадать в определённые этими оценками интервалы?

11. Как суммировать погрешности и когда это нужно делать?

12. Как округлить абсолютную погрешность и среднее значение результата измерения?

13. Какие способы существуют для оценки погрешностей при косвенных измерениях?

14. Что нужно записать в качестве результата измерения? Какие величины указать?

Основные обозначения:

Х_изм	– величина, найденная при прямых измерениях.
Х_ист	– истинное значение величины.
D_Х	– абсолютная погрешность измерения физической величины Х. Она равна D _Х =Х_изм - Х_ист.
d	– относительная погрешность измерения, которая находится, например, для величины Х, так: .
D_с	– систематическая погрешность (одна из составляющих общей абсолютной погрешности D).
D_сл	– случайная погрешность (вторая составляющая общей абсолютной погрешности D).
	– среднее арифметическое значение величины Х. В данном методическом руководстве кроме этого обозначения используется обозначение с подстрочным текстом "ср", например X_ср. Находится среднее арифметическое значение таким образом: s – среднее квадратическое отклонение, которое находится, например для Х, по формуле: . s служит оценкой случайной погрешности, то есть при вычислениях вместо D _сл можно брать s. D – общая абсолютная погрешность измерения, которая определяется по следующей формуле: .