Краткие сведения для решения задач. Основное уравнение динамики материальной точки D массой m , движущейся с ускорением a под действием системы сил относительно инерциальной системы отсчёта XYZ

Динамика точки.

Основное уравнение динамики материальной точки D массой m, движущейся с ускорением a под действием системы сил относительно инерциальной системы отсчёта XYZ (смотри рисунок 31) имеет вид

, или ,

или в проекциях на оси X,Y,

если учесть, что проекция ускорения на ось равна второй производной по времени от координаты точки по этой оси, т.е.

то получим три дифференциальных уравнения второго порядка

С помощью этих дифференциальных уравнений решаются две основные задачи динамики:

Первая задача: по заданным кинематическим уравнениям движения (, ) материальной точки и её массе найти равнодействующую сил, приложенных к точке.

Вторая задача: зная силы, приложенные к материальной точке и её массу, определить закон движения её (кинематические уравнения движения) и характеристики этого движения (скорость, ускорение и т.д.).

Вторая задача решается последовательным интегрированием каждого из трёх дифференциальных уравнений второго порядка. При этом (если берутся неопределённые интегралы) появляются по два постоянных интегрирования на одно уравнение. Их необходимо определить, используя, так называемые, начальные условия: в начальный момент (t₀) времени(обычно t₀ =0) должны быть известны положение точки (её координаты x₀, y₀, z₀) и её скорость V₀ (заданная через проекции на оси координат V_0X, V_0Y, V_0Z).

Задача 6 (Д1). Тема: Основная (вторая) задача динамики материальной точки.

Задание: Тело D массой m пришло в движение из точки А с начальной скоростью V_O (см. рис. 32). На участке АВ на тело действуют сила тяжести и сила трения (f=0,1). В точке В тело переходит на участок ВС, где на него, кроме силы тяжести и силы трения, действует переменная сила

(, или , или ), проекция, которой задана в таблице 6. Считая тело материальной точкой, найти закон движения тела, зная расстояние АВ=l или время t₁ движения тела от точки А до точки В на участке ВС, т.е. , где х=ВД.

План выполнения задания.

Решение задачи разбивается на две части. Сначала надо составить и с учетом начальных условий проинтегрировать дифференциальные уравнения движения тела на участке АВ. Затем определить скорость тела в точке В, принимая во внимание, что точка В является начальной точкой движения тела по участку ВС. После этого надо составить и проинтегрировать дифференциальные уравнения движения тела на участке ВС так же с учетом начальных условий, ведя отчет времени от момента, когда тело находится в точке В, полагая, что в этот момент t=0.

Таблица 6