Основные теоретические сведения. Магнитное поле и его характеристики

Магнитное поле и его характеристики

В пространстве, окружающем токи и постоянные магниты, возникает силовое поле, называемое магнитным. Наличие магнитного поля обнаруживается по силовому действию на внесенные в него проводники с током или постоянные магниты. Название «магнитное поле» связывают с ориентацией магнитной стрелки под действием поля, создаваемого током (это явление впервые обнаружено датским физиком Х. Эрстедом (1777–1851 гг.)).

Важнейшая особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на движущиеся в этом поле электрические заряды. Опыт показывает, что характер воздействия магнитного поля на ток различен в зависимости от формы проводника, по которому течет ток, от расположения проводника и от направления тока. Следовательно, чтобы охарактеризовать магнитное поле, надо рассмотреть его действие на определенный ток.

Если в данную точку магнитного поля помещать рамки с различными магнитными моментами, то на них действуют различные вращающие моменты. Отношение

, (1)

где – максимальный вращающий момент, - вектор магнитного момента рамки с током, для всех рамок имеет одно и то же значение и

поэтому может служить характеристикой магнитного поля, называемой магнитной индукцией . Таким образом, - вектор магнитной индукции, количественная силовая характеристика магнитного поля.

Для плоского контура с током вектор магнитного момента:

, (2)

где – площадь поверхности контура (рамки), – единичный вектор нормали к поверхности рамки. Направление совпадает, таким образом, с направлением положительной нормали, которое определятся по правилу буравчика: если движение рукоятки буравчика совместить с направлением тока в рамке, то поступательное движение буравчика укажет на направление .

Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля.

Так как магнитное поле является силовым, то его по аналогии с электрическим полем изображают с помощью силовых линий магнитной индукции, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора . Для линейного проводника с током направление силовых линий задается правилом правого винта: у винта, ввинчиваемого по направлению тока, рукоятка вращается в направлении силовых линий магнитной индукции.

Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с током. Этим они отличаются от линий напряженности электростатического поля, которые являются незамкнутыми (начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных).

Закон Био-Савара-Лапласа и его применение к расчету магнитного поля

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774–1862) и Ф. Саваром (1791–1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом.

Закон Био-Савара-Лапласа для проводника с током I, элемент dl которого создает в некоторой точке A(рис. 1) индукцию поля , записывается в виде:

Рис.1. Изображение в произвольной точке магнитного поля тока.

, (3)

где – вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током I; – радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку А исследуемого поля, r – модуль радиус-вектора ; – магнитная постоянная (); – относительная магнитная проницаемость среды, которая в воздухе и в вакууме равна единице. Направление перпендикулярно и , т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции, (правилу правого винта). Направление вращения головки винта дает направление , если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора определяется выражением

, (4)

где – угол между векторами и .

Для магнитного поля, как и для электрического поля, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

. (5)

Расчет характеристик магнитного поля ( и ) по приведенным формулам в общем случае сложен. Однако, если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био-Савара-Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет просто рассчитать конкретные поля. Можно рассмотреть два примера:

Магнитное поле прямого тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 2). В произвольной точке A, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. В качестве переменной интегрирования выбирается угол - угол между векторами и .

Из рис. 2 следует:

, (6)

Рис.2. К расчету магнитного поля прямого тока

; (7)

радиус дуги CD вследствие малости равен , и угол FDC по этой же причине можно считать прямым. Подставив эти выражения в (4), можно получить, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника, будет равна:

. (8)

Так как угол для всех элементов прямого тока бесконечно длинного проводника изменяется в пределах от 0 до , то, согласно (5) и (8), получается:

. (9)

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока бесконечной длины равна:

. (10)

Если проводник конечной длины, то меняется от до (рис. 2) и тогда, интегрируя (8), можно получить:

. (11)

Магнитное поле в центре кругового проводника с током.

Все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления – вдоль нормали к плоскости витка. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиус-вектору () и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (4):

. (12)

Тогда

. (13)

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с

током имеет вид:

. (14)

Циркуляция вектора магнитного поля в вакууме

Аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля введем понятие циркуляции вектора магнитной индукции. Циркуляцией вектора по заданному замкнутому контуру:

, (15)

где – вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура; – составляющая вектора в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода); – угол между векторами и .

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора ): циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

, (16)

где n – число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным.

Выражение (16) справедливо только для поля в вакууме, поскольку для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.

Можно продемонстрировать справедливость теоремы о циркуляции вектора на примере магнитного поля прямого тока I, перпендикулярного плоскости чертежа и направленного к нам, представляя себе замкнутый контур в виде окружности радиуса r. В каждой точке этого контура вектор одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности (она является и линией магнитной индукции). Следовательно, циркуляция вектора имеет вид:

. (17)

Согласно выражениям (16) и (17) получается (в вакууме), откуда

. (18)

Таким образом, исходя из теоремы о циркуляции вектора ,получается выражение для магнитной индукции поля прямого тока, аналогичное выражению (10).

Из сравнения выражений для циркуляции векторов напряженности электрического поля и индукции магнитного поля

(19)

видно, что между ними существует принципиальное различие: циркуляция вектора электростатического поля всегда равна нулю,
т. е. электростатическое поле является потенциальным; циркуляция вектора магнитного поля не равна нулю, т. е. магнитное поле является вихревым.

Теорема о циркуляции вектора имеет в учении о магнитном поле такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био-Савара- Лапласа.

Приведенные теоретические положения позволяют описывать магнитное поле систем различной конфигурации и получать практически значимые выводы при анализе существующих и проектировании новых устройств.

Магнитное поле соленоида

Соленоидом (катушкой) называют устройство, представляющее собой несколько витков проволоки, намотанных на непроводящий круглый каркас и образующих винтовую линию. Если витки расположены вплотную друг к другу, то соленоид представляет собой систему последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса, имеющих общую ось.

При расчете индукции магнитного поля внутри соленоида применяется теорема о циркуляции. Можно рассмотреть соленоид длиной l, имеющий N витков, по которому течет ток I (рис. 3). Если длина соленоида во много раз больше, чем диаметр его витков, тотакой соленоид можно считать бесконечно длинным. Экспериментальное изучение магнитного поля такого соленоида показывает, что внутри него поле является однородным, вне соленоида – неоднородным и очень слабым.

Рис.3 Магнитное поле соленоида.

На рис. 3 представлены линии магнитной индукции внутри и вне соленоида, у которого отсутствует сердечник. Чем соленоид длиннее, тем меньше магнитная индукция вне соленоида. Поэтому приближенно можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь.

Для нахождения магнитной индукции B выбирается замкнутый прямоугольный контур ABCDA, как показано на рис. 3. Циркуляция вектора по замкнутому контуру ABCDA, охватывающему все витков, согласно (16), имеет вид:

. (20)

Интеграл по контуру ABCDAможно представить в виде четырех интегралов: по линиям АВ, ВС, CD и DA. На участках АВ и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции и . На участке BC вне соленоида . На участке DA циркуляция вектора равна (контур совпадает с линией магнитной индукции), следовательно,

. (21)

Из (21) получается выражение для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме):

, (22)

Где магнитная постоянная, N − число витков, I − ток в амперах [А] и − длина катушки в метрах.

Магнитная индукция поля внутри соленоида с сердечником определяется выражением

, (23)

где - магнитная проницаемость сердечника. В отсутствие сердечника

Энергия магнитного поля соленоида определяется выражением:

, (24)

где L – индуктивность соленоида, I – ток, протекающий через соленоид.

Индуктивность – это физическая величина, характеризующая магнитные свойства электрической цепи, определяющая величину электродвижущей силы (ЭДС) самоиндукции, наводимой в цепи при изменении протекающего по ней тока и (или) при её деформации. Также индуктивность может быть определена выражением

, (25)