2015-03-20
568
Первое объяснение дифракции света принадлежит Френелю (1818 г.). Он показал, что количественное описание дифракционных явлений возможно на основе построения Гюйгенса, если его дополнить принципом интерференции вторичных волн.
Принцип Гюйгенса устанавливает способ построения фронта волны в момент времени 
по известному положению фронта в момент времени t. Согласно этому принципу каждая точка, до которой доходит волновой фронт, служит вторичным источником волн. Огибающая этих вторичных волн и дает положение волнового фронта в следующий момент времени. Френель дополнил этот принцип положением о когерентности вторичных источников. Тогда вторичные волны, придя в точку наблюдения, дадут интерференционную картину. Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволит найти результирующую амплитуду.
Рассмотрим для примера экран Э с некоторым отверстием, через которое проходит свет от точечного монохроматического источника Р 0 (рис.3.8.1). Задача состоит в определении напряженности Е в любой точке Р за экраном.
В методе Френеля предполагается, что напряженность Е в точках отверстия такая же, как и при
отсутствии экрана, и что в точках непосредственно Рис.3.8.1.
за экраном Е = 0. Т. е. считается, что существенна
только форма отверстия экрана, но не сам экран.
Это предположение, как показал опыт, справедливо, когда размеры отверстия и его расстояния до источника и точки наблюдения Р значительно больше длины волны l, т. е. когда отклонения от геометрической оптики довольно малы. Оно нарушается для отверстия, например, щели, ширина которой значительно меньше l.
Закроем мысленно отверстие в экране произвольной поверхностью S. Разобьем эту поверхность на элементарные участки dS. По предположению Френеля каждый из этих участков становится источником вторичной сферической волны. Амплитуда вторичной световой волны, достигающей точки наблюдения Р, должна быть пропорциональна амплитуде Е первичной волны, приходящей к элементу dS, а также площади самого элемента dS, и обратно пропорциональна расстоянию r от элемента dS до точки Р.
Для определения результирующей амплитуды колебаний в точке Р, т. е. суммы элементарных амплитуд, необходимо еще учесть, что колебания от разных элементов dS достигают точки Р с разными фазами. Это приводит к появлению в выражении для результирующей амплитуды множителя cos(kr + a), где k = 2 π / l, а a — дополнительная фаза, равная фазе первичной волны в элементе dS (для разных элементов она в общем случае не одинакова).
Таким образом, результирующая амплитуда напряженности Е в точке Р может быть представлена как суперпозиция элементарных амплитуд с учетом их взаимных фазовых соотношений:
(3.8.1)
где интегрирование проводится по выбранной нами поверхности S.
В интеграле (3.8.1) a 0 величина, определяемая амплитудой световой волны в месте нахождения элемента dS; К (
) — некоторый коэффициент, зависящий от угла между первоначальным направлением световой волны в данной точке (волновым вектором 
) и направлением на точку Р. Естественно предположить, что коэффициент К монотонно убывает с ростом угла. Многие практически важные дифракционные задачи можно, как мы увидим далее, решить при весьма общих предположениях относительно К (), не уточняя конкретного вида зависимости его от угла.
В дальнейшем мы будем рассматривать ситуации, позволяющие в качестве поверхности S брать волновую поверхность падающей волны, что значительно упрощает расчеты. В этом случае угол в коэффициенте К () представляет собой угол между нормалью 
к элементу поверхности dS и направлением от dS к точке Р, а дополнительную фазу a в (3.8.1) можно считать равной нулю (a = 0).
Расчет, базирующийся на принципе Гюйгенса—Френеля можно представить в простой и наглядной форме с помощью векторной (фазовой) диаграммы 
(рис.3.8.2)Использование подобных диаграмм в дальнейшем позволит значительно упростить многие рассуждения Рис.3.8.2.
и расчеты. На этой диаграмме результирующая амплитуда
представлена как векторная сумма амплитуд d 
колебаний в точке Р от различных элементов dS поверхности S с учетом их фаз. Разность фаз между различными векторами 
на диаграмме определяет угол между этими векторами.
Полуволновые зоны. Зоны Френеля.
Суммирование (интегрирование) амплитуд элементарных колебаний, приходящих в точку Р, вообще говоря, весьма сложно. Но в простейших случаях, обладающих определенной симметрией, интегрирование может быть заменено простым алгебраическим или графическим сложением (последнее особенно наглядно).
Суммирование амплитуд колебаний, приходящих от различных элементов волновой поверхности S, Френель предложил делать с помощью разбиения поверхности S на зоны, конфигурация которых зависит от симметрии рассматриваемой задачи.
Суть метода состоит в том, чтобы разбить волновую поверхность на участки (зоны), так чтобы расстояния до точки наблюдения от краев каждой зоны отличались на половину длины волны - 
. Конфигурация самих зон зависит от симметрии задачи. Эти зоны называются полуволновыми зонами. Смысл такого разбиения в том, что в этом случае волны Рис.3.8.3.
от вторичных источников приходят в точку наблюдения
со сдвигом по фазе на 
и при интерференции гасят друг друга. Это, как мы убедимся в дальнейшем, существенно упрощает расчет.
Частным случаем полуволновых зон являются зоны Френеля. В этом случае зоны представляют собой кольца, которые симметричны относительно линии 
, где 
- источник, а Р – точка наблюдения (рис.3.8.3). Эти зоны выбираем так, чтобы расстояния от краев каждой зоны до точки Р отличались друг от друга на половину длины волны. Рис.3.8.4.
Найдем внешний радиус m -й зоны Френеля, r m.
С этой целью воспользуемся рисунком 3.8.4. Из него видно, что
,
где а – радиус волновой поверхности, отрезок ВО равен 
. Раскрыв это выражение и учитывая, что при на очень больших т членами, которые входит 
можно пренебречь, получим
; 
. (3.8.2)
Заметим, что если падающая нормально на данное отверстие волна плоская (а®µ), то
(3.8.4)
Используя формулу площади сферическогосегмента, получим площадь т- ой зоны 
(3.8.5)
т. е. практически одинаковы для всех зон. Однако, амплитуды колебаний, приходящих в точку Р от вторичных источников этих зон, монотонно и слабо убывают из-за увеличения расстояния r до точки Р от каждой следующей зоны и роста угла между нормалью к элементам зоны и направлением на точку Р.
