Примеры решения задач. 1.Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов

1. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов . Найти длину волны де Бройля для двух ситуаций: 1) = 51 В; 2) = 510 кВ.

Дано:

= 51 В;

= 510 кВ;

кг;

Кл Найти:

–?

Решение Длина волны де Бройля может быть выражена через импульс

частицы и постоянную Планка

(смотри формулу (3.7)):

. Импульс частицы можно выразить через ее кинетическую энергию. При этом важно знать,

является частица классической или релятивистской. Для решения этого вопроса сравним в каждом случае кинетическую энергию частицы с энергией покоя

. (3.16)

Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов , может быть определена после умножения разности потенциалов на модуль заряда электрона :

. (3.17)

Вычисляя по формуле (3.17), получим:

51 эВ = МэВ;

510 эВ = 0,51 МэВ.

Энергию покоя электрона найдем по формуле (3.16):

МэВ.

Очевидно, что , а . Следовательно, в первой ситуации электрон является классической частицей, а во второй – релятивистской. Поэтому импульс электрона определим следующим образом:

; (3.18)

. (3.19)

С учетом формул (3.18) и (3.19) представим формулу (3.7) в форме, удобной для выполнения вычислений:

; (3.20)

. (3.21)

Вычислим длину волны де Бройля по формулам (3.20) и (3.21) с учетом найденных ранее значений кинетической энергии электрона:

;

Ответы: 171,8 пм; 1,4 пм.

2. На узкую щель шириной а = 1 мкм направлен параллельный пучок электронов, имеющих скорость = 3,65 Мм/с. Учитывая волновые свойства электронов, определите расстояние х между двумя максимумами интенсивности первого порядка в дифракционной картине, полученной на экране, отстоящем на = 10 см от щели.

Дано:

м;

м/с;

₁= 1; k ₂ = -1;

кг Найти:

Решение Изобразим схему дифракции электронов на щели (рисунок 3.4), укажем на ней положения дифракционных максимумов

₁и k ₂, ширину щели

, угол дифракции

, искомое расстояние

, расстояние

от плоскости диафрагмы до экрана.

Воспользуемся оптико-механической аналогией и учтем, что при дифракции на щели положение дифракционных максимумов приблизительно можно определить по формуле

, (3.22)

где k = 0, 1, 2, 3, …(в рассматриваемой ситуации следует выбрать k = 1), - длина волны, которую следует сопоставить электрону, то есть длина волны де Бройля, определяемая по формуле (3.7).

Так как заданная в условии задачи скорость электрона значительно меньше скорости света в вакууме, то электрон можно считать нерелятивистской частицей, а его импульс определять по формуле:

, (3.23)

где - масса покоя электрона, - скорость его движения.

Так как рассматривается дифракция в первый порядок, то угол дифракции мал, и можно считать, что

. (3.24)

Тангенс угла дифракции найдем, воспользовавшись схемой опыта:

, (3.25)

где - расстояние от центра дифракционной картины до рассматриваемого максимума.

Комбинируя формулы (3.7),(3.22) – (3.25) с учетом значения k = 1, получим выражение для расчета расстояния между указанными в задаче дифракционными максимумами:

. (3.26)

Вычислим искомое расстояние по формуле (3.26):

Ответ: х = 60 мкм.

3 На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения изменяется. Когда этот угол становится равным 64°, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму первого порядка. Принимая расстояние между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определите длину волны де Бройля электронов и их скорость .

Дано:

= 64⁰; k = 1; d = 200 пм Найти:

Решение Воспользуемся для решения задачи формулой Вульфа-Брэгга, которая применима здесь, как и при дифракции рентгеновского излучения на кристалле:

, (3.27) где

– постоянная кристаллической решетки,

– угол скольжения,

– порядок дифракции,

– длина волны де Бройля.

Выражая из формулы (3.27) длину волны де Бройля, получим:

. (3.28)

Воспользуемся выражением длины волны де Бройля через импульс частицы и постоянную Планка:

. (3.29)

Из формулы (3.29) найдем скорость электрона:

. (3.30)

Вычислим искомые величины по формулам (3.29) и (3.30):

пм;

м/с = 2 Мм/с.

Ответы: 360 пм; 2 Мм/с.

4. Электрон в плоскопараллельном слое толщины из вещества, показатель преломления которого , движется со скоростью перпендикулярно ограничивающим слой плоскостям. Скорость электрона , при этом регистрируется излучение Вавилова – Черенкова. Определить угол раствора конического сектора, в котором сконцентрировано излучение вследствие конечности толщины слоя.

Дано: ; ; ;

Найти:

Решение

Изобразим схематически описанную в задаче ситуацию (рисунок 3.5).

Угол между направлением полета частиц и направлением излучения определяется из равенства

, (3.31)

где - скорость света в вакууме, - показатель преломления среды, - модуль скорости частицы.

Неопределенность импульса электрона, находящегося в слое вещества толщиной d, составляет величину порядка

, (3.32)

а неопределенность его скорости равна

, (3.33)

где – масса электрона.

Продифференцируем левую часть выражения (3.31) по , а правую часть – по :

. (3.34)

Считая неопределенности угла и скорости малыми величинами, представим (3.34) в виде:

. (3.35)

Из выражения (3.35) выразим модуль и учтем в полученном выражении формулу (3.33):

. (3.36)

Числовое значение найденного угла может быть определено после задания значений показателя преломления среды, толщины слоя и скорости электрона. При этом следует определить с применением основного тригонометрического тождества и формулы (3.31).

5. Комптоновское рассеяние квантов на электронах атомов осложняется тем, что электроны в атомах не находятся в покое. Оцените связанный с этим разброс в углах разлета электронов отдачи, выбиваемых из атомов водорода при рассеянии строго назад рентгеновских квантов с длиной волны = 0,1 нм.

Дано:

= 0,1 нм;

кг;

Кл Найти:

–?

Решение Для оценки будем считать, что начальный импульс электрона

был направлен перпендикулярно направлению движения фотона. Величину

найдем из соотношения неопределенностей, записанного в виде:

. (3.37)

При этом неопределенность в положении электрона можно отождествить с радиусом первой боровской орбиты ( м).

Продольную составляющую импульса электрона после его взаимодействия с фотоном найдем, воспользовавшись законом сохранения импульса:

, (3.38)

а изменение частоты – применяя формулу Комптона

, (3.39)

где – комптоновское смещение длины волны, пм – комптоновская длина волны для электрона, – угол рассеяния. Так как рассматривается рассеяние строго назад, то

. (3.40)

Определяя импульс (скорость) электрона в ходе решения системы уравнений (3.38) и (3.40), легко убедиться, что

, (3.41)

и что электрон в данной задаче нерелятивистский.

Оценим теперь разброс в угле рассеяния электрона (рисунок 3.6).

На рисунке 3.6 видно, что

. (3.42)

Учтем в (3.42) формулы (3.37) и (3.41):

. (3.43)

Тогда искомый разброс угла рассеяния определим как

. (3.44)

Производя вычисления, получим:

Ответ: = 7,3°.

6. Оцените минимальный размер железной пылинки, при котором можно наблюдать эффект Мёссбауэра с энергией перехода Е = 14 кэВ и временем жизни = 10^-3 с, если отдачей пылинки будет обусловлено доплеровское смещение, равное естественной ширине линии.

Примечание. Эффект Мёссбауэра заключается в том, что при достаточно низкой температуре отдачу испытывает не отдельное излучившее ядро, а весь кристалл (в рассматриваемой задаче – пылинка).